第五章时域离散系统的基本网络结构 与状态变量分析法时域离散系统可用差分方程、系统函数、单位取样响应序列 表示，即h(n)x(n)y(n)5.1 引言但是给定一个系统函数可以有不同的实现算法，即不同的网络结构。如不同的网络结构具有不同的特点。本章介绍数字系统的基本网 络结构，及描述系统内部网络结构的状态变量分析法。5.2 用信号流图表示网络结构数字信号处理中有三种基本运算：乘法、加法、单位延迟。 两种图形方式：方框图、流图1、方框图法 方框图法简明且直观，三种基本运算。z-1单位延时:乘常数:a相加:x(n)b0b0x(n)y(n)例如：2、信号流图法三种基本的运算：单位延时：乘常数：相加：这种表示法更加简单方便。x(n)b0b0x(n)y(n)例如：几个基本概念：a）输入节点或源节点： 所处的节点；b）输出节点或吸收节点： 所处的节点；c）分支节点：一个输入，一个或一个以上输出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点: 有两个或两个以上输入的节点。*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。 基本信号流图满足的条件：（2）流图环路中必须存在延迟支路； （3）节点和支路的数目是有限的；（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路 增益是常数或者是z -1;根据信号流图可以求出网络的系统函数的方法：（1）列出各个节点变量方程；（2）求解该方程；（3）推导出输出与输入之间的关系；例：求图5.2.2基本信号流程图决定的系统函数H(z)对（5.2.1）式进行Z变换，得到：联立求解得：网络结构分为两类：（1）有限长脉冲响应网络，简称FIR网络（2）无限长脉冲响应网络，简称IIR网络FIR网络：一般不存在输出对输入的反馈支路，差分方程描述为：其单位脉冲响应h(n)是有限长的：IIR网络结构：存在输出对输入的反馈支路。即信号流图中存在环路，其单位脉冲响应是无限长的。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。如何求？例：一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应 h(n)=an u(n)。5.3 无限长脉冲响应基本网络结构基本网络结构：（1）直接型 （2）级联型 （3）并联型 1. 直接型 N阶差分方程：按照差分方程直接画出的网络结如图H1(Z)H2(Z)前后两部分交换可得图(b)：因为图中节点变量w1= w2， 将其延时合并则得图(c) 称为IIR直接型网络结构。H2(Z)H1(Z)t例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：2. 级联型其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得将两个一阶因子组合成二阶因子（或将一阶因子看成 是二阶因子的退化形式），则有：图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 t例5.3.2 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到特点？3.并联型将H（Z）展成部分分式形式:Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，系统函数一般表示为：由上式可得其Y(z)表示为：表明将x(n) 送入每个二阶（包括一阶）网络后，将 所有的输出加起来得到输出y(n)例：设系统函数H(z) 如下式：试画出其级联型网络结构和并联型网络结构。解 将H(z) 的分子、分母进行因式分解，可得将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分 母多项式组成一个二阶网络，画出结构图如图级联将H(z) 展成部分分式形式为：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络 结构如图所示：并联1. 在并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数 极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此 调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型 方便。2. 各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影 响，不像直接型和级联型那样有误差积累，故并 联形式运算误差最小。3. 由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算 ，因此并联型与直接型和级联型比较，其运算速 度最高。归纳：5.4 有限长脉冲响应基本网络结构一 特点：3、单位脉冲响应是有限长的，即h(n) 在有限个n值处不为零。1、没有反馈支路h(n)为一个N点序列，Z=0处为（N-1）阶极点， ，有（N-1）阶零点。2、H(z) 在处收敛，极点全部在Z=0处。二 基本结构1、直接型可看出其差分方程就是线性移不变系统的卷积和公式其系统函数和差分方程为：直接型网络结构如图：2、级联型将H(z) 进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个 系数为实数的二阶形式。级联型结构就是由一阶或二阶因子构成 的级联结构，其中每个因式都用直接型实现。其一般情况为：特点：每节结构可控制一对零点。所需系数 多，乘法次数也多。例：设网络系统函数H(z) 如下式画出H(z) 的直接型结构和级联型结构。解 将H(z) 进行因式分解，得到：其直接型结构和级联型结构如图所示3、频率采样结构（选看）由 频域采样恢复序列的z变换：上式为FIR滤波器提供了一种结构：频率采样结构(5.4.1)式中：由(5.4.1) 可得频率采样的FIR网络结构式将其可改写为：其中：由上式可看出H(z) 是由梳状滤波器Hc(z)和N个一阶网络 Hk(z) 的并联结构进行级联而成的。梳状滤波器一阶网络其零点和极点 刚好都是等间 隔地分布在单 位圆上，理论 上，相互抵消 ，保证了网络 的稳定性。其极点为：零点为：频率域采样结构优点：(1) 在频率采样点wk，H(ejwk)=H(k) ，只要调H(k) （一阶网络的 乘法系数），就可以有效地调整频响特性，调整方便。(2) 只要h(n) 长度N相同，对于任何频响形状其梳状滤波器部分 和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k) 不同 ，这样便于标准化、模块化。缺点：(1) 系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。实际 上，寄存器长度都是有限的，这样有限长效应可能使零极点不能 完全对消，从而影响系统稳定性。(2) 结构中H(k)和WN-k 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法 运算，对硬件实现是不方便的。为了克服频率采样结构的上述缺点，作以下修正：首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩 到半径为r的圆上，取r1且此时H(z) 为：由于 ，可近似取零极点均为如果由于某种原因，零极点不能抵消时，极点位 置仍在单位圆内，保持了系统的稳定性。由DFT的共轭对称性知道，如果h(n) 是实数序列，则其即：且将Hk(z) 和HN-k(z) 合并为一个二阶网络，记为Hk(z) ,离散傅立叶变换H(k) 关于N/2点共轭对称其中二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图： 当N为偶数时，式中H(0)和H(N/2)为实数，对应的频率采样修正结构 由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，N等于奇数的频率采样修正结构由一个一阶网络和由上图可看出，当采样点数N很大时，其结构非常复杂 ，需要的乘法器和延时单元很多。但对于窄带滤波器，大 部分频率采样值H(k)为零，从而使二阶网络个数大大减少 ，因而频率采样结构适用于窄带滤波器。(N-1)/2个二阶网络结构构成。当N奇数时，只有一个采样值H(0)为实数回忆！5.5 状态变量分析法例：求图5.2.2基本信号流程图决定的系统函数H(z)解 对（5.2.1）式进行Z变换，得到：联立求解得：回忆！5.5 状态变量分析法1、状态方程和输出方程状态变量分析法的两个基本方程：状态方程和输出方程状态方程：是把状态变量和输入信号联系起来的方程。输出方程：是把输出信号和那些状态变量联系起来的方程。状态变量：确定一组最少的节点变量，只要已知输入信号以及n0 时刻这些节点变量值，就可以计算出 时刻的输出信号以及 系统内部任意节点变量值，这样一组最少的节点变量定为状态变 量。状态变量选取原则：延迟单元的输出节点。二阶网络基本信号流图有两个延时支路，因此建立两个 状态变量w1(n)和为w2(n)。建立流图中其它节点以及输出y(n)与状态变量之间的关系：写成矩阵形式：二阶网络基本信号流图的 状态方程和输出方程。状态方程左端是n+1时刻的状态变量值，它由输入信 号、系统参数以及n时刻的状态变量值确定。输出方程左端是n时刻的输出值，它由输入信号、系 统参数以及n时刻的状态变量值确定。如图为更一般的二阶网络基本信号流图，两个延 时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出一下方程：如图为更一般的二阶网 络基本信号流图，两个 延时支路输出节点定为 状态变量w1(n)和w2(n)。将状态方程和输出方程写成矩阵形式：用矩阵符号表示为：其中若系统有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n)， x2(n) ， xM(n) ，L个输出信号：y1(n)， y2(n) ， yL(n)，则状态方程和 输出方程为式中A、B、C、D为参数矩阵基本信号流图建立状态方程和输出方程的方法：(1)按顺序在z-1支路输出端建立状态变量wi(n)， z-1支路的输入端为wi(n+1);(2)列出所有节点变量方程，找出状态变量wi(n+1)与 wi(n)和输入x(n)之间的关系，并用矩阵方程表示；(3)找出输出信号和状态变量wi(n)以及输入信号的关系，并写成矩阵方程；方法2：参数矩阵的方法 （流图简单的情况）方法1：t信号流图中有两个延时支 路，分别建立两个状态变 量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所 示)，然后列出延时支路输 入端节点方程如下： t 将上式写成矩阵方程： (5.5.12) 例 建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。 方法1：t 输出信号y(n)的方程推导如下： t y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)t 将上面w1(n+1)的方程代入上式：t ty(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)t =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)例 建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。 解：方法2 不建议t例5.5.3 已知系统函数H(z)为 (1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程 。 t 在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和 w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量方程： t w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)t w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)t =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)t w3(n+1)=w2(n)t矩阵方程：t输出方程为ty(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)t将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：ty(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)t将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程：ty(n)=-1.5 -0.514 -0.11w1(n) w2(n) w3(n)T + 2x(n) 例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 t画出直接型结构并写出状态方程和输出方程t结构如图所示。在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、 w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状 态方程和输出方