第十三第十三章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理一、考试内容二、考试要求三、真题选讲四、课外习题一、考试内容 1、随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质.2、随机变量的函数的数学期望 . 3、切比雪夫不等式 .4、矩、协方差、相关系数及其性质.5、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律.6、棣莫弗-拉普拉斯定理、列维-林德伯格中心极限定理.二、考试要求 1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. 2、会求随机变量函数的数学期望. 3、了解切比雪夫不等式 . 4、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 5、了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.三、真题选讲例1：设随机变量 的概率分布为 ，则例2：设随机变量 的分布函数为，其中 为标准正态分布的分布函数，则 （ ）. （A）0 （B）0.3 （C）0.7 （D）1例3：设随机变量 在区间 上服从均匀分布；随机变量 ，则方差例4：设随机变量 和 的联合概率分布为则 和 的协方差例5：设随机变量 与 相互独立，且 与 存在，记 ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）例6：将一枚硬币重复掷 次，以 和 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 和 的相关系数等于（ ）（A） （B） （C） （D）例7：设随机变量 和 的数学期望分别为 和 ，方差分别为 和 ，而相关系数为 ，则根据切比雪夫不等式例8：设总体 服从参数为 的指数分布，为来自总体 的简单随机样本，则当 时，依概率收敛于.例9：设 为随机事件,且令（1）求二维随机变量 的概率分布 ；（2）求 与 的相关系数.例10：对于任意两事件 和 ，称为事件 和 的相关系数.（1）证明事件 和 独立的充分必要条件是其相关系数等于零.（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明例11：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装 有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： （1）乙箱中次品件数 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.例12：设某企业生产线上产品的合格品率为0.96，不 合格产品中只有 的产品可进行再加工，再加工的 合格率为0.8，其余均为废品.已知每件合格产品可获 利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均 利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少件 产品？四、课外习题习1：设随机变量 和 的相关系数为 ，若则 与 的相关系数为.习2：设随机变量 独立同分布，且其方差为 令 ，则 （A） （B）（C） （D）习3：设随机变量 的概率密度为对 独立地重复观察4次，用 表示观察值大于 的次 数，求 的数学期望.习4：箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别 为1,2,3个. 现从箱中随机地取出2个球，记 为取出的 红球的个数， 为取出的白球的个数.（1）求随机变量 的概率分布（2）求习5：设随机变量 与 的概率分布分别为且（1）求二维随机变量 的概率分布；（2）求 的概率分布；（3）求 与 的相关系数习7：设 是二随机事件，随机变量试证明随机变量 和 不相关的充分必要条件是 与 相互独立.习6：设二维随机变量 服从正态分布则习8：设 为独立同分布的机变量系列， 且均服从参数为 的指数分布，记 为标准正 态分布函数，则（ ）（A）（B）（C）（D）