第二章第二章 随随 机机 变变 量量上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集； 在这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量引例 E1: 将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。e1=（正，正） 2e2=（正，反） 1e3=（反，正) 1e4=（反，反） 0令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)试验基本结果(e) 正面出现的次数X(e)与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的 随机变量。再如 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数. 令X=“正面出现的点数” 试验基本结果(e) 正面出现的点数X(e)e1= 1 1 e2= 2 2 e3= 3 3 e4= 4 4 e5= 5 5 e6= 6 6总之，对每一个随机试验，我们都可以引入一 个变量X，使得试验的每一个样本点 e 都有一个X 的取值X(e)与之对应，这样的X就称为定义在该试验上的随机变量。1 1、随机变量的定义、随机变量的定义设E是一个随机试验，其样本空间为，在E上引入一个变量X，如果对中每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)与之对应，我们就称X为定义在随机试验E上的一个随机变量. （2）引入随机变量的目的：用随机变量的取值表示随机事件.“X1”表示事件“正面至少出现一次”;2、随机变量的说明随机变量的说明（1 1）随机变量的表示：常用字母X,Y,Z，.表示. 例如：引例中, “X=2”表示事件“正面出现两次”;“00为一常数，n是任意正整数。设npn=, 则对任一固定的非负整数k，有 证明：四、泊松分布四、泊松分布定义：定义：若随机变量X所有可能的取值为0,1,2, 而 X取每个值的概率为:则称X服从参数为的泊松分布(Poisson),记为 :1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的XP().说明：数学模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大p 很小时的近似计算。1、 Poisson分布的应用2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。上述例1的解答：例例2 2：某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街, ,出事故的概率为出事故的概率为0.01,0.01,独立重复上街独立重复上街400400次，求出事故至少两次的概率。次，求出事故至少两次的概率。解：解：400400次上街次上街400400重重BernouliiBernoulii实验实验记记X X为出事故的次数，则为出事故的次数，则所求概率为所求概率为: :另解 :例3:（保险问题）设有2500人参加人寿保险，并设每人在一年内死亡的概率为0.002,参保的人每年1月1日交保费12元，而若在这一年死亡时,家属可从保险公司获得2000元补偿。求（）保险公司赔本(A)的概率。（）保险公司获利不少于10000元(B)的概率。解: 令X=“一年内死亡的人数”，则Xb(2500,0.002)30000-2000X10000， 即“X10”. P(B)=P(X10)（1）保险公司“赔本” (2) 保险公司获利不少于10000元，应有=1-P(X10)思考：某大学校乒乓球队与系队举行对抗赛，校队实力较系队强，当一对一时，校队队员获胜的概率 为0.6。现提出如下三种对抗赛的方案。(1)双方各出3人；(2)双方各出5人；(3)双方各出7人；三种方案均以获胜人数最多的一方为胜。试问：对系队来说，哪种方案较有利？例4:(进货问题）由某商店过去的销售记录知道，某彩电每月的销售数可用参数为=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不脱销，问商店在月底至少应进多少台？解：设每月的销售数为X，月底进N台，则即求满足 P(XN)0.95 的最小的N由于 P(XN)=1-P(XN)，即求查表知：N+1=10, 所以即要以95%以上的把握保证月底不脱销，月底至少应进9台商品。五、（五、（0 10 1）分布）分布X 0 1pk 1-p p一个只有两个结果的随机试验，都可以用 （0）分布来描述。如新生婴儿的性别，打靶中与不中等等。即X的分布律为：则称X服从（0 ）分布。小结：这一节主要内容是离散型随机变量及其分 布律一、离散型随机变量的定义及其分布律离散型随机变量的定义及其分布律二、二项分布二、二项分布三、三、PoissonPoisson定理定理四、泊松分布四、泊松分布五、（五、（0101）分布）分布练习1：盒子中共有10个球，其中4个红的6个白的。今从中任取5个球，令X=“任取的5个球中红球的个数”，求X的分布律。解：X的所有取值为0，1，2，3，4.解：解：X所有可能的取值为：1，2，3；作业作业: : 设盒子中装有编号15的5个小球，从中任取 3个，以X记3个球的号码的最小者，试求X的分布律 及PX2 和PX4 。X的分布律为：X123Pk6/103/101/10PX2=PX=3=1/10 PX4 =0.思考思考1 1：设有10只同种类的电器元件，其中有两只是 废品。现从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔 掉重取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只。令X为 取到正品之前取出的废品数，试求X的概率分布。X012Pk解：设X为取到正品之前取出的废品数，则X的分布 律为:思考思考2 2： 某人酒后回家某人酒后回家, ,从从n n把外型相同的钥匙把外型相同的钥匙中任取一把去开门，求他第中任取一把去开门，求他第k k次才打开门的概率次才打开门的概率. .解解：记记A Ak k=“=“第第k k次次打开门打开门”,”,第第k k次才打开门的概率为：次才打开门的概率为：=“=“第第k k次次没有打开门没有打开门” ” k=1,2,3,k=1,2,3,思考思考3 3： 社会上发行某种面值为社会上发行某种面值为2 2元的彩票元的彩票, ,中奖中奖率为率为2.8%2.8%。某人购买一张彩票，若没中奖再继续。某人购买一张彩票，若没中奖再继续 买一张，直至买一张，直至中奖中奖为止，试求他第为止，试求他第6 6次购买中奖的次购买中奖的 概率概率. .第第6 6次购买中奖的概率为：次购买中奖的概率为：解：记A=“中奖”2.2 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数引例：若用X=“掷一颗骰子时掷出的点数”，记PX1= F(1）PX2= F(2）PX3= F(3） 一般地：对任意的实数我们把 称为随机变量随机变量X X的分布函数。的分布函数。1. 1. 分布函数的含义分布函数的含义一、分布函数的定义一、分布函数的定义xa二、分布函数的几点说明二、分布函数的几点说明0（ ab2. 2. 分布函数的分布函数的定义域与值域例1：已知随机变量X的分布律为:X 0 1 2pk 1/4 2/4 1/4(1)求X的分布函数(2)求X的分布函数解 ：三、分布函数的性质三、分布函数的性质试说明F(x)能否作为某个随机变量X的分布函数例1：设有函数求: (1) 常数A，B的值； (2) P(0X1)例2：设随机变量X的分布函数为：例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )C作业：设随机变量X的分布律为:X -1 0 2pk 0.3 0.2 0.5求X的分布函数小结：本节主要内容为随机变量分布函数 的定义及性质。