复利和年金的计算推导超级详细版作者寄语 在你开始阅读这个PPT之前，我有些话要先 对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复 利和年金的计算和推导，涉及的数学知识 其实很简单，只是由于数据庞大，因此让 很多人望而却步，因此一定要耐下性子进 行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接 近零的人都可以看会的，关键是要静下心 ，一个字一个字的读完，这样才能把这一 部分知识彻底领悟到，祝你们成功！字母的含义i报酬率或利率 n期数A每期投入或支付的相同金额，在普通年金中也叫偿债基金FFuture终PPresent现VValue值 I系数 一、复利的计算1、复利的终值2、复利的现值1、复利的终值复利的终值：就是一些钱过n期之后利滚利的最后所得总额。 1、复利的终值总结计算公式：FVn=PVn(1+i)n注：(1+i)n就是传说中的复利终值系数：FVIFi,n=(1+i)n因此，复利终值计算公式又可以写成FVn=PVn FVIFi ,n 2、复利的现值复利的现值：就是利滚利过n期后能拿到的一些钱在现在值多少钱。2、复利的现值总结计算公式：PVn=FVn就是传说中的复利现值系数：PVIFi,n=因此，复利现值计算公式又可以写成PVn=FVn PVIFi ,n 1(1+i)n1(1+i)n注 ：1(1+i)n二、年金的计算1、普通年金 2、即付年金 3、递延年金 4、永续年金1、普通年金普通年金：又叫后付年金， 是指各期期末收付的年金。 AAAAAAAAA总共n期（1）普通年金终值说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（ 也就是线段最右端点）的终值总和。 推导： FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1=A t=1n(1+i)t-1到这一步如果你看得懂，你很聪明！（1）普通年金终值刚才的结论是下面这个公式计算公式：FVAi,n= At=1n(1+i)t-1就是传说中的年金终值系数：FVIFAi,n=注： t=1n(1+i)t-1 t=1n(1+i)t-1因此，年金终值计算公式又可以写成 FVAi,n=A FVIFAi,n（1）普通年金终值看到这里，是不是有点晕头转向了呢？将计算公式：FVAi,n= At=1n(1+i)t-1变形，等号两端同时乘以(1+i)，得到下式：FVAi,n(1+i)= A t=1n(1+i)t等比数列求和啊！=A1-(1+i)1-(1+i)n=Ai(1+i)n+1 -1(1+i)(1+i)（1）普通年金终值这样，只要在等号两端再同时除以(1+i)，就又 诞生了一个变形后的公式计算公式：FVAi,n=Ai(1+i)n+1 -1这样，年金终值系数就变成了：FVIFAi,n=i(1+i)n+1 -1最后敲定普通年金终值计算公式为FVAi,n=Ai(1+i)n+1 -1（1）普通年金终值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结FVAi,n=A t=1n(1+i)t-1=A FVIFAi,n=Ai(1+i)n+1 -1（2）普通年金现值说白了，就是计算让每次投入的A退回到第一期 期初（也就是线段最左端点）的现值总和。推导：PVAi,n=A1(1+i)+A1(1+i)2+A1(1+i)3+ +A=At=1n1(1+i)t1 (1+i)n（2）普通年金现值刚才的结论是下面这个公式PVAi,n=A t=1n1(1+i)t注： t=1n1(1+i)t 就是传说中的年金现值系数：PVIFAi,n= t=1n1(1+i)t因此，年金现值计算公式又可以写成 PVAi,n=A PVIFAi,n（2）普通年金现值PVAi,n=A t=1n1(1+i)t=A 1-1+i11+i11-(1+i)n1=Ai1-(1+i)n1我们将继续利用等比数列求和公式分解（2）普通年金现值这样，又诞生了一个变形后的公式计算公式：PVAi,n=Ai1-(1+i)n1这样，年金现值系数就变成了：PVIFAi,n=i1-(1+i)n1最后敲定普通年金现值计算公式为PVAi,n=Ai1-(1+i)n1（1）普通年金现值总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结PVAi,n=A t=1n1(1+i)t=A PVIFAi,n=Ai1-(1+i)n12、即付年金即付年金：又叫先付年金，或预付年金，是指各期期初预 付的年金。 AAAAAAAAA总共n期（1）即付年金终值说白了，就是计算每次投入的A在第n期期末（ 也就是线段最右端点）的终值总和。 推导： XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n=A t=1n(1+i)t还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了t-1（1）即付年金终值刚才的结论是下面这个公式计算公式：XFVAi,n=A t=1n(1+i)t我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的 计算公式如何转化。At=1n(1+i)t和A t=1n(1+i)t-1之间的转化即（1）即付年金终值暂时把A抛在一边，看这两个求和 t=1n(1+i)t t=1n(1+i)t-1=(1+i)+(1+i)2+(1+i)n=1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1很明显 t=1n(1+i)t= t=1n(1+i)t-1 (1+i)（1）即付年金终值所以， XFVAi,n = FVAi,n (1+i)这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终 值的(1+i)倍，在财务上可以理解为多计算了一期的 终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化 为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的 ，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数 ，因此这里的公式就显得尤为重要。（1）即付年金终值现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。XFVAi,n=A t=1n(1+i)t=A1-(1+i)1-(1+i)n(1+i)=Ai(1+i)n+1-(1+i)=Ai(1+i)n+1-1-A=Ai(1+i)n+1-1-1（1）即付年金终值不知道大家是否清楚我为什么要把A后面的部分整个括 起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好 。i(1+i)n+1-1是什么？再次回想普通年 金终值，看出来没？是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是n+1期的普通年金终值系数FVIFAi,n+1（1）即付年金终值我们再次把公式写出来看看XFVAi,n = FVAi,n+1-A可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实， n期即付年金的终值就是n+1期普通年金的终值去掉一 期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值 也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系 数的期数多1期，但是系数值少1。（1）即付年金终值总结最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结XFVAi,n=A t=1n(1+i)t=Ai(1+i)n+1-1-A= FVAi,n (1+i)= FVAi,n+1-A（2）即付年金现值说白了，就是计算每次投入的A退回到第一期期初 （也就是线段最左端点）的现值总和。推导：XPVAi,n=A+A1+i1+A(1+i)21+ A(1+i)n-11=A t=1n(1+i)t-11还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了t-1（2）即付年金现值刚才的结论是下面这个公式计算公式：XPVAi,n我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看 看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。At=1n和A t=1n之间吧！即=A t=1n(1+i)t-11(1+i)t1 (1+i)t-11（2）即付年金现值暂时把A抛在一边，看这两个求和 t=1n t=1n(1+i)t1(1+i)t-11=(1+i)1 (1+i)21+(1+i)n1(1+i)1 (1+i)21+(1+i)n-11很明显 t=1n t=1n(1+i)t1 (1+i)t-11=(1+i)（2）即付年金现值所以， XPVAi,n = PVAi,n (1+i)这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年 金现值的(1+i)倍，在财务上可以理解为少计算了一 期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是 转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确 定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值 系数，因此这里的公式就显得尤为重要。现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。（2）即付年金现值XPVAi,n t=1n(1+i)t-11=A=A1-(1+i)11-(1+i)n11= Ai分子分母同乘(1+i)1-(1+i)n-11+A（2）即付年金现值如果把A提到外面来，另一边将变成什么？XPVAi,n= Ai1-(1+i)n-11+1回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以 变成PVIFAi,n-1+1了。（2）即付年金现值我们再次把公式写出来看看XPVAi,n= PVIFAi,n-1+A仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，n期 即付年金的现值就是n-1期普通年金的现值增加一期的 偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值 系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的期 数少1期，但是系数值多1。（2）即付年金现值最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结XPVAi,n=A t=1n(1+i)t-11= Ai1-(1+i)n-11+A= PVAi,n (1+i)=PVIFAi,n-1+A3、递延年金递延年金：又叫延期年金，是指前面m期不付，后面n期每期期末 交付，直到最后一期期末的年金。 AAAAAA支付n期m期（1）递延年金终值由于后面n期按照普通年金的方式完成支付，那么 递延年金的终值实际上就是n期普通年金的终值。Pn=A t=1n(1+i)t-1=A FVIFAi,n=Ai(1+i)n+1 -1这里，对于递延年金的终值就不进行总结了。（2）递延年金现值首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不 知道读者你有没有看出来？第一种，前面m期不看，可以直接计算出后面n期 在它本身的期初（不是总共m+n期的期初哦！）的现值 ，就是上上页线段的前m期最后一个端点，同时也是后 n期的最左边端点，然后将这个值看成前m期的终值， 调整到前m期期初，即整个线段最左端点即可。第二种，看成是m+n期的普通年金，计算出现值以 后，减去前m期并未支付的那些现值，剩下的也是递延 年金的现值。（2）递延年金现值第一种方法P0 =A PVIFAi,n=Ai1-(1+i)n1P0= P0(1+i)m1=A PVIFAi,nPVIFi,m你看到了什么？复利现值系数啊！（2）递延年金现值第二种方法P0 =A PVIFAi,m+n=Ai1-(1+i)m+n1P0= P0-Pm=A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m（2）递延年金现值为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算。P0=A PVIFAi,nPVIFi,m=Ai1-(1+i)n1(1+i)m1=A(1+i)m1-(1+i)m+n1第 一 种 方 法 i1（2）递延年金现值P0 =A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m=Ai1-(1+i)m+n1- Ai1-(1+i)m1=A(1+i)m1-(1+i)m+n1 i1第 二 种 方 法（2）递延年金现值总结很明显，两种方法计算出的结果是一样的。计算公式：P0=A PVIFAi,nPVIFi,m=A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径 。4、永续年金永续年金：是指每期期末都进行交付，没有最