三角形复习中垂线的性质线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等CO是的中垂线（中垂线的性质）ACOBl如图, ABC中,DE垂直平分AC,AD=2.5cm,BC是9cm,则BD长是_.ABCDE6.5cm角平分线上的点到角两边的距离相等ABPCAP平分CAB， PBAB，PCACPB=PC（角平分线上的点到角两边的距离相等）4cm如图，ABC中，C=900，AD 是CAB的平分线，CD=4cm， 则点D到AB的距离为 ACDBABCMN如图，AB和AC是两条公路，M、N是 两个村庄，供电局要在附近修一个变 电所，要求变电所到两条路的距离相 等，到两个村庄的距离也相等，你能 帮他们选出符合要求的地点吗？P点P就是所求的点判定两个三角形全等必须具备三个条件：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等AAS两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等SSS三边对应相等的两个三角形全等AAA三角对应相等的两个三角形不一定全等SSA两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等SSSSASASAAAS如图，在ABC中，AB=AC，E、F分别为AB 、AC上的点，且AE=AF，BF与CE相交于点O。AOFEBC1、图中有哪些全等的三角形？ ABFACE（SAS） EBCFCB（SSS） EBOFCO（AAS）解：3=4（已知） 5=6（等角的补角相等）在ABD和ACE中1=2 5=6BD=CE ABD ACE( AAS)AB=AC ( 全等三角形对应边相等 )已知:如图，已知1=2，3=4， BD=CE；求证:AB=AC65CBDEA2143条件必须是三角形的元素n2、如图，已知AD平分BAC，要使ABDACD，n根据“SAS”需要添加条件 ；n根据“ASA”需要添加条件 ；n根据“AAS”需要添加条件 ；ABCDAB=AC BDA=CDA B=C练习2、如图，已知AB=AD， AC=AE，1=2， 求证：BC=DEABCDE12ACEBD21如果ABDACE ，则1与2相等吗？解 ABDACE （已知）DAB = EAC（全等三角形的对应角相等 ）DAB - BAE = EAC - BAE即1 = 2三角形中的数学思想 n例：已知：如图，ABDC，ADBC， 求证：AC。 CBAD思路：连结BD，将问题转化，利用 三角 形全等问题来解决。 化归思 想 n其基本模式为：转化转化 问题2问题1解答2解答1已知非直角三角形ABC中,A=45,高BD和 CE所在直线交于H,求BHC的度数. 分析:三角形的形状不同,高的交点的位置也 就不同.高的交点可能在三角形内部,也可能 在三角形外部,故应分两种情况加以讨论.135或45 分类讨论思想数形结合思想 整体 思想 n如图2，在ABC中，B63， C51，AD是BC边上的高， AE是BAC的平分线，求DAE 的大小. EDCBA图2说明 整体思想在有关三角 形的边和角的计算中经常会 遇到，请同学们在平时的学 习过程一定要多加注意分析 由于已知的角与要求角的大小 难以直接沟通，但考虑到AD是BC边 上的高，AE是BAC的平分线，所以 我们可以设法求得CAE BAC (180BC)，这样就可以 从整体利用B+C的和求解.解 AE是BAC的平分线， CAE BAC (180BC) 90BC， 又AD是BC边上的高， ADC90， DAC90C DAE90C(90BC) BC6.n例：如图5,在ABC 中,B =C， 1=2，BAD=40.求EDC. CABDE 1 2分析：利用三角形的外角性质，设 法建立关于EDC的方程. 解:设EDC=x.n n求值时，当问题不能直接求出时，求值时，当问题不能直接求出时， 一般需要设未知数继之建立方程一般需要设未知数继之建立方程. . 用解方程的方法求出结果用解方程的方法求出结果, , 这也是解题常用的一种思想这也是解题常用的一种思想. .方程思想 方程是解决很多数学问题的重要工具,很多数学问题可以通过构造方程而 获解.事实上,用设未知数的方法表示所求,可使计算过程书写简便,也易 于表明角与角之间的关系.1=x+C. 2+x =B+BAD. 2 =B+BADx. 1=2B+40=C+2x.B =C, 2x=40,解得x=20.三角形中的开放题 .如图，三点在一 条直线上，和均为 等边三角形，连结，（）求证：（），三点不在一条直线 上， （）中的结论还成立吗？(1)若直线CD经过BCA的内部,且E、F在射线CD上, 如图1,若 =90, =90,你能发现什么结论？CEBDFA图1123 4例1、CD是经过BCA顶点C的一条直线,CA=CB, E、F分别是直线CD上两点,且BEC=CFA=， BCA= 。如图2,若0 90, 此时BCE与 CFA全等还成立吗？图2123ABCDEF4需要增加什么条件?能否添加一个关于与关系的条件, 使BCE与CFA全等?如图3, 90 180, 若 += 180, BCE与CFA全等吗？图3123ABCDEF4(2)如图4,若直线CD经过BCA的外部, =BCA,请提出EF、BE、AF三条 线段数量关系的合理猜想.图4EF=BE+AF12 3ABCDEF4中考系列之一:全等三角形探 索型问题一、探索条件型 此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备 的条件。一般地，依据三角形全等地判定方法，补充 所缺少的条件。例改（2004年长沙市）如图，已知 MB=ND,MBA=NDC,下列哪些 条件不能判定 ABMCDNA.M=N B.AB=CDC.AM=CN D.AMB=NCDACBDMN二、探索结论型此类型题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根 据所给条件探索可能得到的结论。 例. （2004年宁夏自治区）如图2，AB=AD，BC=CD ，AC和BD相交于E。由这些条件可以得出若干结论 ，请你写出其中3个正确结论。（不要添加字母和辅 助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：ABCDE三、探索方案型此类型题首先提供一个实际问题背景，按照问题的要 求研究解决问题的合理方案。四、探索编拟问题型例. （2004年广西桂林市）如图，在AFD和BEC中 ，点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断： AD=CB，AE=CF，BD， AC.请 用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学 问题，并写出解答过程。 ABCDEF例1.（1）(2006年内江)如图1,在ABC 中,已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加 的一个条件是_。ABCDE（2）（2006年宜昌）如图2， AB=CD，AD，BC相交于点O， 要使ABODCO，应添加的 条件为_。（添加一个条件即可）图1 ABCDO图2一.条件补充型（3）（2006年株洲）如图3， AE=AD，要使ABDACE，请 你添加一个条件是_ 。ADEBC（4）（2006年浙江）如图4， 点B在AE上，要使 ABCABD，可补充的一个 条件是_。图3ABECD图4（5）（2006年梧洲）如图5， ACB=DFE，BC=EF要使 ABCDEF，则需要补充一个条件 ，这个条件可以是_。ABCFED二.组合开放型例2.（2005年扬州）如图，在ABC和 DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面 有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余 下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证 明。AB=DE；AC=DF；ABC=DEF； BE=CFADBECF三.猜想证明型 例3.（2006年大连）如图，E，F分别是平行四边形 ABCD对角线所在直线上两点，DE=BF，请你以两 点中的一点为端点，和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一 条线段相等。BADECF解:连结CF,猜想CF=AE证明:四边形是平行四边形AD=BC,ADBCADB=DBC, FBC=ADE又DE=BFFBCEDACF=AE四.阅读纠错型例4.(2003年江西)已知:如图,D为ABC中BC 上一点,E为AD上一点,EB=EC, ABE=ACE, 求证:BAE=CAE.证明:在AEB和AEC中,EB=ECABE=ACEAE=AEAEBAEC, (第一步)BAE=CAE, (第二步)ABCDE问:上述证明过程是否正确,若正确,写 出每一步的推理依据;若不正确,请指 出错在哪一步,并写出正确的证明过 程。证明:EB=EC1=2ABE=ACEABD=ACDAB=ACAEBAECBAE=CAE.（年巴中）如图， 中， 分别在，上，且 ，图 中是否存在和全等的三角 形？并证明12、要画出AOB的平分线线，分别别在OA，OB上截取 OC=OD，OE=OF，连结连结 CF，DE，交于P点，那么AOB 的平分线线就是射线线OP，要说说明这这个结论结论 成立，可 先说说明EOD . 理是 ， 得到 OED= ，再说明 PEC ，理由是 ，得 到PE= ；最后说明 EOP ，理由是 ，从而说明了AOP=BOP，即OP平分AOB 。 五.方案设计型例.（年西宁）如图，在人民公 园人工湖两侧的，两点欲建一座观赏 桥，由于受条件限制，无法直接度量， 间的距离，请你用学过的知识，设计三 种测量方案。要求：（）画出你设计测 量的平面草图；（）在图 形中标出测量的数据（长度 用、，角度用 表示），并写出测量的依据 及的表达式。已知：ACCD,BDCD,M是AB的中点,连CM并延长交BD于F,请说明:M是CF的中点.ACMDFBK拓展练习：3、如图，方格纸中DEF的三个顶点分别在小 正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画一个顶 点都在格点上的ABC，且使ABCDEF。DEFABCDEF （A）B（C）DEFABCn已知ABC中有两个角相等，当A=20时 ，求其它两个角. 解：（1）如果A=B，那么B=20， C=1802020=140； （2）如果B =C，那么B =C= (180 A)= 80 另外两个角分别为20、140和80、80.说明：这里两个角相等没有指明 具体的角，所以要分类进行讨论.n若三角形的三边长为整数，周长为11，且 有一边长为4，则此三角形的最大边长为多 少？ 解：（1）若4是最长边，则另两边只能是4，3； （2）若4是次大边，则另两边只能是5和