第5章 误差理论基本知识本章内容：误差分类及其特性、算术 平均值、衡量精度的标准、误差传播 定律、误差理论应用。5-1 测量误差概述1. 基本概念 误差的定义：被观测量的观测值与其真值之 差。 真值：被观测量的真实大小，属理论值。 三大客观条件：仪器条件、观测条件、外界 条件。 误差产生原因：实践表明，由于三大客观条 件的存在，对同一量进行观测多次时，测量 结果总是存在着差异。5-1 测量误差概述1. 基本概念 粗差：读错、记错、测错等错误，统称粗差 。粗差在测量中不允许出现，它不属于误差 的范畴。 等精度观测：三大客观条件相同的观测。 不等精度观测：三大客观条件不同的观测。 5-1 测量误差概述2. 误差的分类误差按性质分为：系统误差、随机（偶 然）误差。 2.1 系统误差 定义在相同的观测条件下，对某量进行一系 列的观测，若误差出现的符号、数值的大小 均相同，或按一定的规律变化，这种误差称 为系统误差。5-1 测量误差概述 性质系统误差具有累积性。它可以通过适当 的观测方法或计算方法加以消除。5-1 测量误差概述2.2 随机（偶然）误差 定义在相同的观测条件下，对某量进行一系 列的观测，若误差出现的大小和符号均不一 致，且从表面上看没有任何规律性，这种误 差称为随机误差。例如，估读误差、气泡居中误差、照准 误差等。5-1 测量误差概述 性质随机误差表面上无规律可寻，但受其内 部必然规律的支配。 实践表明：对某量进行多次观测，在只含有 随机误差的情况下，其误差出现统计学上的 规律性。观测次数越多，规律性越明显。例如，掷硬币，出现正反面的机会，随 次数的增多而趋于相等。 正面反面 正面反面 反面正面正面反面反面5-1 测量误差概述 随机误差的特性 有界性在一定的观测条件下，随机误 差的绝对值不会超过一定限度。 范围性在一定的观测条件下，绝对值 较小的随机误差出现的概率比绝对 值较大的误差出现的概率大。5-1 测量误差概述 对称性在一定的观测条件下，绝对值相等的 正、负误差出现的概率相等。+-+- 抵偿性在一定的观测条件下，同一量的等精 度观测，其随机误差的算术平均值，随着 观测次数的增多而趋于0，即其中， 为总和的意思，相当于“”5-1 测量误差概述+-+-3. 学习误差理论知识的目的了解随机误差的特性；正确处理观测值，得出最可靠结果， 衡量精度；用误差理论指导实践，规划测量作业 ，达到预期精度。5-1 测量误差概述OY(k/n/d)X()1.算术平均值在等精度观测条件下，对某量进行多 次观测，通常取其平均值作为最后结果 ，认为是最可靠的。例如，对某量丈量4次，观测值为l1，l2，l3，l4 则算术平均值为5-2 观测值的算术平均值 若观测n次，则2. 观测值的改正数v 改正数的定义：观测值与算术平均值之差。 即 5-2 观测值的算术平均值 上式两端取和有：因所以即，观测值的改正数之和为0，它可以作 为计算工作的检核。所谓精度，即是指误差分布的集中 与离散程度，误差分布集中，说 明观测值精度好（高），误差分 布离散，说明观测值精度低。 标准有：方差或中误差、相对误差、极 限误差5-3 衡量精度的标准1. 方差与中误差在同精度观测条件下，对某量进行了n次观测，得观测值为l1,l2,ln，设其真误差分别为1，2，n，则定义该组 观测值的精度为：5-3 衡量精度的标准方差其中1. 方差与中误差当n有限时，用均方差，即中误差m来衡 量精度，即菲列罗公式：5-3 衡量精度的标准1. 方差与中误差 菲列罗公式：5-3 衡量精度的标准注意：m代表一组观测值的精度。即这组观 测值中的每一个观测值都具有这样的精度 ，或者说，同精度观测值具有相同的精度 。彼此并不相同，这是由于随机误差的 性质所决定的。m的取位，要取2-3位有效数字。 1. 方差与中误差 例1：设对某个三角形用两种不同的精度分 别对它们进行10次观测，求得每次观测所 得的三角形内角和真误差为： 第1组：+3、-2、-4、+2、0、-4、+3、+2、-3、-1 第2组：0、-1、-7、+2、+1、+1、-8、0、+3、-1 试求这两组观测值的中误差，并比较精度高 低。5-3 衡量精度的标准解：依据菲列罗公式得m1=2.7m2=3.6 故第1组观测值精度高于第2组观测值精度 。5-3 衡量精度的标准白塞尔公式：通常观测值的真值是不知道的。如某一 段距离、某一角度、某一点高程等，因此 ，无法计算真误差，因而就不能用菲列 罗公式计算一组观测值的中误差。但是观 测量的最或是值是可求的，这时可用改正 数v来计算中误差，即用白塞尔公式计算 ：5-3 衡量精度的标准白塞尔公式： 5-3 衡量精度的标准1.方差与中误差 2.结论：已知观测值真值时，用菲 列罗公式求观测值得中误差 ；未知观测值真值时，用白 塞尔公式求观测值中误差。5-3 衡量精度的标准2. 相对误差真误差与中误差m都是绝对误差。 相对误差(k)：绝对误差的绝对值与相应的测量成果之 比，并化成1/N形式，即5-3 衡量精度的标准相对中误差相对误差2. 相对误差 例2：分别丈量两段距离，其结果为 100m0.02m和200m0.02m，试比较其角 度高低。 解：两者中误差分别为m1=0.02 ， m2=0.02m 相对误差为 5-3 衡量精度的标准通过比较可知，后者较前者精度高。2. 相对误差例3：试比较角20352510和角 70204210精度的高低。 解：因为 m1=m2=10且角度无论大小均为两方向读数之差， 故只要中误差相等，说明精度相同。 5-3 衡量精度的标准2. 相对误差结论：经纬仪测角时，不能用相对误差的概念 衡量精度，相对误差用于衡量与长度、面 积、体积等有关的量。5-3 衡量精度的标准3. 极限误差与容许（允许）误差根据随机误差的有界性可知，在一定的 观测条件下随机误差的绝对值不会超过一 定的限度。中误差只能代表一组观测值的精度，而 不能代表某一个观测值的真误差大小，但 二者之间有一定的统计学上的关系。5-3 衡量精度的标准3. 极限误差与容许（允许）误差在一系列等精度观测误差中：| |m|的随机误差出现的概率为30%|2|m|的随机误差出现的概率为5%|3|m|的随机误差出现的概率为0.3%5-3 衡量精度的标准3. 极限误差与容许（允许）误差换言之，| |m|的随机误差出现的概率为70%|2|m|的随机误差出现的概率为95%|3|m|的随机误差出现的概率为99.7% 5-3 衡量精度的标准3. 极限误差与容许（允许）误差故一般认为大于3m的随机误差是不可能 的，所以一般取3m为随机误差的极限误差 ，即|极|=3|m| 测量中，取2m为的容许值容，即|容|=2|m| 若观测值的随机误差超过2m，认为该值不可 靠（但不是错误），应舍去不用。5-3 衡量精度的标准1. 误差传播定律的定义在实际工作中，某些未知量不能直接观 测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+h中，HB是独立观测值 h1,h2,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 5-4 误差传播定律 观测值函数的中误差 5-5 误差传播定律的应用求函数中误差的步骤 根据题意，列出函数式 求增量，即求全微分。若为线性函数 ，则可省略此步骤 应用误差传播定律求出函数中误差5-5 误差传播定律的应用例1：在三角形ABC中，直接观测了角A和 角B，其中误差分别为mA=3， mB=4，试求角C的中误差mC 。 解： 列函数式： C=180-A-B 求增量（此步可省略）：C=-A-B 应用误差传播定律求mCABC ?mc=55-5 误差传播定律的应用例2： 若题为已知mA= ，为使C角具有 5的精度，问B角需以多高的精度观测 ？ 分析：题中观测量为A、B角，函数为C。ABC?5-5 误差传播定律的应用解题： 列函数式： C=180-A-B 求增量（此步可省略）： 应用误差传播定律 ABC?即，B角需以不低于4的精度观测，才 能使C角具有5的精度。5-5 误差传播定律的应用例3：已知水准测量中，每测站高差中误 差均为m站，由A测向B共测n站，求总高 差的中误差AB13425-5 误差传播定律的应用解： 列函数式AB1342 应用误差传播定律5-5 误差传播定律的应用结论：水准测量高差的中误差，与测站数 n的平方根成正比。同距离丈量一样，若平坦地区有S公里 的水准路线，已知mkm，则AB13425-5 误差传播定律的应用结论：水准测量高差的中误差与距离S的平 方根成正比。AB1342例如：mkm=20mm，S=25km，则