被积函数 积分域 积分元素 曲线积分 z=f(x,y) 平面弧段 L 弧长dsu=f(x,y,z) 空间弧段 弧长ds 曲面积分 u=f(x,y,z) 曲面片S 曲面dS分割实例曲线状构件的质量一一 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分-第一类曲线积分第一类曲线积分近似第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 1 1 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分求和极限精确值定义注性质定理小大二二 对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算证解解解例3oxL3 L1y例2例1求和极限近似分割定义一一 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分 实例 平面中变力沿曲线作功 2 2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分同样地组合形式与向量形式注性质二二 对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算 定理起终证思考解1解2解解曲线关系可直接代入被积函数xoyABy2=x例1例2BOAy=xxy例3例4解三三 两类曲线积分间的转换两类曲线积分间的转换D复连通 有“洞 ”单连通 无“洞 ”D边界曲线正向 沿正向行前进,区域D总在左侧一一 格林格林( (GreenGreen) )公式公式 单连通平面区域 D内任一闭曲线所围部分都 D 定理1 3 3 格林公式及其应用格林公式及其应用yxoabDcdABCE证(1)两式相加得YXDl1l2l3证(3)DGFC EAB证(2)注解2解例1例2解1解解例4例3 LxyC二二 与路径无关与路径无关的问题的问题在G内与路径无关GyxoBA定理2证定义定理3充要条件证两条件 缺一,结论就可能不成立注例5解定理4证三三 的全微分求积的全微分求积yOxG注例6解解例7小 结曲面光滑:各点处都有切平面,且切平面随切点连续转动.XYZ 分割,近似,取和,求极限定义一一 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分各小块曲面直径最大值 实例 曲面状物体的质量 4 4 对面积的曲面积分对面积的曲面积分性质二二 对面积曲面积分的计算对面积曲面积分的计算-化为二重积分注投影 ,代入 ,替换 注例1解解例2例3解解例4例5解一一 双侧曲面的侧双侧曲面的侧 有向曲面有向曲面用曲面法向量的指向 表示曲面的侧 有向曲面 决定了侧的曲面 5 5 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分二二 有向曲面的投影有向曲面的投影 思考题场 空间位置的函数三三 场的概念场的概念 四四 实例实例流场中的流量问题流场中的流量问题S近似分割求和取极限五五 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分 定义称为R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x, y的曲面积分同 样 地对y,z坐标对z,x坐标组合形式 性质记作六六 对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算注 1)必须注意曲面所取的侧投影 ,代入 ,定号注意:对称性情况与第一类曲面积分不同解解例1例2七七 曲面积分之间的转换曲面积分之间的转换单一型第一类例3解解例4一一 高斯高斯( (GaussGauss) )公式公式 定理证(1) 6 6 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度证(2)例1解1注意 对称性情况解2解3例3证例2解通量通量二二 通量与散度通量与散度散度散度高斯公式的物理意义-不可压流动质量守恒散度的意义例4例5解解高斯公式可写成一一 斯托克斯斯托克斯( (stokesstokes) )公式公式设为分段光滑的空间有向闭曲线,是由张成 的分片光滑有向曲面,的正向与的方向符合右手 规则, 函数P(x, y, z ),Q(x ,y, z),R(x, y, z)在包含曲面 在内的某空间区域内偏导数连续, 则右手 法则便于记忆的形式定理 7 7 StokesStokes公式公式 环通量与旋度环通量与旋度证同理所以三式相加 结论成立(只证简单情况)解例2解例1Stokes公式的向量形式旋度的定义环流量的定义二二 环流量与旋度环流量与旋度梯度 散度 旋度 场论中的三种运算曲线积分的对称性对第二类曲线积分,尽量不利用对称性