初中数学 基本知识 知识的运用一.基本知识:(一).线段的垂直平分线.ABaO1.基本性质:线段垂直平分线上任 意一点到线段两端的距离相等;反 之,到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上.P2.尺规作线段的垂直平分线.3.在三角形中:三角形三边的中垂 线相交于一点.这一点到三角形三 顶点的距离相等,叫三角形的外心.ABCO(二).角平分线: AOBC1.定义:如图,若AOC=COB.则射线OC叫AOB的平分线.2.基本性质:角平分线上任意一 点到角两边的距离相等.反之到 角两边距离相等的点在这个角 的平分线上.PDE3.会用尺规作角的平分线4.三角形的三条内角平分线相交 于一点.这一点到三边的距离相 等.叫做三角形的内心.ABCDEF二.知识的运用(一)垂直平分线的运用:利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得到 (1) 等腰三角形,两底角相等,三线合一等结论;(2) 转化线段,有利于问题的解决.(3) 折叠问题就是轴对称问题,对称轴就是对应点的中垂线.ABPO问题1.已知一条河m的同侧有两组同学分别在A,B两处活动,现要派一名同学从A地到河边提水送到B地,问该同学应选怎样的路线,才能使所走路程最短?.AB.m PA1P1.解:作点A关于直线m 的对称点A1,连结A1B交直线m于一点P,连 结PA,则PA+PB为最 小,即A-P-B就是所求 的最短路线.问题2. 如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB 的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值 是 ；EBDACP解:菱形ABCD对角线互相垂直平 分,D与B关于AC对称.于 是,PB+PE的最小值,就是DE线段的长.等于3.如图已知,在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将矩形对折使点C与点A重合，EF为折痕,求EF的长.O解（法一）：连结AC，由已知得点 A、C关于直线EF对称，所以EF垂 直平分线段AC，OA=OC，因为AEFC，所以得：OF=OE.COFCBA注：折叠问题就是轴对 称问题，对称轴就是垂 直平分线。解法（二）连结AF.角平分线知识的运用：PABOCEFMN一般是利用角平分线上的点到角两边的距离 相等得到线段相等。还可以构造三角形全等 。问题4.如图， 在ABC中，已知A=60，BE、CD是角平 分线，相交于O点，则BOC= 解：BOC=180-（1+2）= 180- （ABC+ACB）= 180- （ 180- A）= 90+ A=12012注： ABC中，内心O的对应角BOC=90+ A问题5.如图已知，ABCD，AE、DE分别平分BAD和ADC，过E作直线交AB于B，交DC于C，若AB=1，DC=3，求AD的长.解（法一）：如图在AD上截取AF=ABBAF=EAF，AE=AEEBAEAFAB=AF，B=1F1 2ABCDB+C=1801+2=1802= CFDE=EDC，DE=DE EFDEDCDF=DCAD=AF+FD=AB+DC=4解法（二）延长AE，交DC的延 长线于M可证ADM 为等腰三角形得：AD=AB+DC=4M注：利用角平分线 构造全等，此题中 延长AE得到等腰常 用问题6.已知任意四边形ABCD的对角线不垂直， 问在四边形内是否存在一点P使：APB=BPC， APE=CPE，且APB APE分析：考虑特殊情况：连结对角 线BE，作AB关于BE的对称线段BA1连结CA1并延长交BE于P即为 所求。A1PC1P进一步研究：ABC的内角平分线与ACB 的外角平分线相交于O，那么BOC=BOC=OCD-OBC注：外心：BOC=90旁心：BOC祝大家学习愉快！