课前回顾课前回顾xyzQr ox yz其中其中 称为矢径，称为矢径， 相当于经度，相当于经度， 称为余纬度。称为余纬度。课前回顾课前回顾xyzoP(,z)Qx y其中其中 称为极径，称为极径， 为极角，为极角， 称为竖直坐标。称为竖直坐标。课前一练课前一练xyzoAQ(3, , ) P(3, , )B = =课前一练课前一练S SA AB BC C（O O）x xz zy yOO课前一练课前一练S SA AB BC C（O O）x xz z4.2.1 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义曲线的极坐标方程的意义学习目标学习目标 1 1掌握极坐标方程的意义掌握极坐标方程的意义; ; 2 2能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程; ; 3 3感受与应用极坐标方程的意义感受与应用极坐标方程的意义; ;1 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义；、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义； 3 3、叙述求曲线方程的步骤；、叙述求曲线方程的步骤；知识回顾知识回顾情境：以极点情境：以极点OO为圆心为圆心, 5, 5为半径的圆上任意一点极径为半径的圆上任意一点极径为为5 5，反过来，极径为，反过来，极径为5 5的点都在这个圆上。的点都在这个圆上。 互动思考互动思考问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？因此因此, , 以极点为圆心以极点为圆心, 5, 5为半径的圆可用方程为半径的圆可用方程 =5=5来表示来表示. .在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方 程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足 曲线方程。曲线方程。定义定义：一般地：一般地, , 若一条曲线上任意一点都有若一条曲线上任意一点都有一个一个极坐标极坐标 适合方程适合方程f f ( ( ,),)0 0； 反之反之, , 极坐标适合方程极坐标适合方程 f f ( ( ,),)0 0的点都在曲线上的点都在曲线上, , 则这个方程称为则这个方程称为这条曲线的这条曲线的 极坐标方程极坐标方程, , 这条曲线称为这条曲线称为这个极坐标方程的曲线这个极坐标方程的曲线. .我们知道：我们知道：在直角坐标平面上在直角坐标平面上, ,曲线可以用曲线可以用 x x、y y的的 二元方程二元方程f f ( (x x, ,y y)=0)=0来表示，这种方程也称为曲线的来表示，这种方程也称为曲线的 直角坐标方程。直角坐标方程。 同理同理: :在极坐标平面上在极坐标平面上, , 曲线也可以用关于曲线也可以用关于 、 的二元的二元 方程方程f f ( ( , , ) )0 0来表示来表示, , 这种方程称为曲线的极坐标方这种方程称为曲线的极坐标方 程。程。互动思考互动思考求曲线的极坐标方程：求曲线的极坐标方程：类似于曲线直角坐标方程求法的基本步骤，可以得类似于曲线直角坐标方程求法的基本步骤，可以得求曲线的极坐求曲线的极坐 标方程基本步骤：标方程基本步骤：（1 1）建立适当的极坐标系；）建立适当的极坐标系；（建系）（建系）（2 2）在曲线上任取一点）在曲线上任取一点 ；（设点）（设点）（3 3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（列式）（列式）（4 4）用极坐标）用极坐标 表示上述等式表示上述等式, ,并化简极坐标方程；并化简极坐标方程；（化简）（化简）（5 5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程；）证明所得的方程是曲线的极坐标方程；（证明）（证明）例例1 1 求过点求过点A(2,0)A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐且垂直于极轴的直线的极坐 标方程。标方程。 解：如图所示，在所求直线解：如图所示，在所求直线 L L上任取一点上任取一点P(P( ,) )， 连结连结OP,OP,则则 OPOP ，POAPOA 在在RtRtPOAPOA中，由于中，由于OA/OP=OA/OP=coscos，即即 2/2/ cos,cos,所以所以 coscos=2=2为所求直线的极坐标方程。为所求直线的极坐标方程。 OxP(, )A(2,0)求曲线的极坐标方程：求曲线的极坐标方程： 要注意：数形结合！要注意：数形结合！变式训练变式训练1 1：已知点已知点P P的极坐标为的极坐标为(1,)(1,)，求过点，求过点P P且垂且垂 直于极轴的直线极坐标方程。直于极轴的直线极坐标方程。OxA(, )解：如图所示，在所求直线解：如图所示，在所求直线 L L上任取一点上任取一点A(A( ,) )， 连结连结OP,OP,则则 OAOA ，XOAXOA 在在RtRtAPOAPO中，由于中，由于OP/OA=OP/OA=coscos( ( - -)，即即 1/1/ - -cos,cos,所以所以 coscos= = - -1 1为所求直线的极坐标方程。为所求直线的极坐标方程。要注意：数形结合！要注意：数形结合！例例2: 2: 求圆心在求圆心在C(r,0),C(r,0),半径为半径为r r的圆的极坐标方程。的圆的极坐标方程。解：如图所示，解：如图所示，| |OP|OP|OA|cos|OA|cosPOAPOA故所求圆的极坐标方程为故所求圆的极坐标方程为 2rcos2rcos设设P P（ ,）为圆上任意一点，由于为圆上任意一点，由于OPOPAPAP即即 2rcos2rcos|OA|=2r|OA|=2r，POAPOA 则则示例分析示例分析变式训练变式训练2 2：求圆心在求圆心在C C（r,/2), r,/2), 半径为半径为r r的圆的圆 的极坐标方程的极坐标方程解：解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。极轴上方的射线上，而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A A，则则A A点的极坐标为点的极坐标为 （r, r, /2)/2)。设圆上任意一点为设圆上任意一点为P P（ ， ），），连结连结PAPA，则则OPOP ，POxPOx 在在RtRtPOAPOA中，由于中，由于coscosPOAPOA=|OP|/|OA|=|OP|/|OA|，所以所以故故2rsin2rsin为所求圆的极坐标方程。为所求圆的极坐标方程。特别结论特别结论我们知道我们知道, ,在直角坐标系中，在直角坐标系中，x x= =k k ( (k k为常数为常数) ) 表示一条平行于表示一条平行于y y轴轴 的直线；的直线；y=y=k k ( (k k为常数为常数) ) 表示一条平行于表示一条平行于x x轴的直线。轴的直线。类似可有：类似可有：在极坐标系中，在极坐标系中， k k ( (k k为常数为常数) ) 表示圆心在极表示圆心在极 点、半径为点、半径为k k的圆；的圆； k k ( (k k为常数为常数) ) 表示极角为表示极角为k k的一条直线（过极点）。的一条直线（过极点）。x xO Okx xO Ok例例3. 3.根据要求解题：根据要求解题： （1 1）化直角坐标方程）化直角坐标方程x x2 2+y+y2 2-8y=0-8y=0为极坐标方程；为极坐标方程； （2 2）化极坐标方程）化极坐标方程=6cos(=6cos(- -/3) /3) 为直角坐标方程。为直角坐标方程。解解(1)(1)因为因为则有则有经检验所求方程为：经检验所求方程为：示例分析示例分析(2)(2)解解: :因为因为=6cos(-/3) =6cos(-/3) 所以所以经检验所求方程为：经检验所求方程为：（2）化极坐标方程=6cos(-/3) 为直角坐标方程。变式训练变式训练3 3： 1 1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1) (1) coscos=4, (2) =4, (2) =5, (3) =5, (3) =2rsin=2rsin（1 1）解：把）解：把 代入上式，得它的直角坐标代入上式，得它的直角坐标 方程方程x x=4=4（2 2）解：两边同时平方，得）解：两边同时平方，得 2 2=25=25把把 2 2= =x x2 2+ +y y2 2代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程x x2 2+ +y y2 2=25=25(3)(3)解：两边同时乘以解：两边同时乘以 ，得，得 2 2=2rsin, =2rsin, 把把 2 2= =x x2 2+y+y2 ,2 , sinsin=y=y代代入上式，得它的直角入上式，得它的直角x x2 2+y+y2 2=2ry =2ry 即即x x2 2+(y-r)+(y-r)2 2=r=r2 21. 1. 在极坐标系中在极坐标系中, ,我们可以用一个角度和一个距离来我们可以用一个角度和一个距离来 确定点的位置确定点的位置. .2. 2. 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一 个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这 样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法. .课课 堂堂 小小 结结