第三章 平面与空间直线主要内容 1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间直线与点的相关位置 7、空间两直线的相关位置 8、平面束第一节 平面及其方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1、方位向量在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则 通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a, b称为平面的方位向量。显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作 为平面的方位向量。2、平面的向量式参数方程在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的径矢 OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0= ua+vb即r=r0+ ua+vb （1）方程（1）称为平面的向量式参数方程。bxyzaM0 MOr0 r显然点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面， 因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ ua+vb （1）例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1,因此，平面的向量式参数方程为 r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 径矢为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法向量法向量的特征：垂直于平面内的任一向量二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程1. 法向量:注: 1 对平面, 法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.2. 平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =x x0, y y0, z z0,得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称方程(1) 为平面的点法式方程.(1)例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量 的平面的方程.解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y + 3z 8 = 0 nM3M2M1解: 先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=3, 4, 6 M1M3=2, 3, 1可取n = M1M2 M1M3= 14i + 9j k例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程为: 14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。解：因为向量M1M2=2，2，-4=21，1，-2 垂直于平面，所以平面的一个法向量为 n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0三、平面的一般方程三、平面的一般方程1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = A, B, C证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为它表示过定点注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)称为平面的一般方程.且法向量为 n = A, B, C的平面.例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 42(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的几种特殊情形(1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:Ax + By + Cz = 0(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于是:平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别: D = 0时, 平面过坐标轴.(3) 平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz + D = 0;By + D = 0;Ax + D = 0例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程.解: 设所求平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0解得:oyP xzQR所求平面的方程为:即: (3)设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为三、平面的法式方程三、平面的法式方程取空间直角坐标系 ，设点 的向径为 ，平面上的任意一点 的向径为 ，则平面的点法式方程 若设 那么平面的点法式方程： 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系数A，B，C 有简明的几何意义，它们是平面 的一个法向量 的坐标若平面上的一点 M 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足P，而 的法向量取单位向量 ，设 ，那么由点 M 和法向量决定的平面的向量式法式方程为：平面的坐标式方程，简称法式方程为其中： ，平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1； 因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数三、平面的法式方程三、平面的法式方程平面的一般方程平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化与法式方程的互化取取 称平面的一般方程称平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程可得法式方程在取定符号后叫做在取定符号后叫做法式化因子法式化因子选取的符号通常与常数项选取的符号通常与常数项 相反的符号相反的符号例例4 4： 把平面把平面 的方程的方程 化为法式方化为法式方程，程，: :求自原点指向平面求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求的单位向量及其方向余弦，并求 原点到平面的距离原点到平面的距离vv1. 1. 平面的向量式参数方程平面的向量式参数方程 2. 2. 平面的坐标式参数方程平面的坐标式参数方程 3. 3. 平面的点位式方程平面的点位式方程 4. 4. 平面的三点式方程平面的三点式方程 5. 5. 平面的截距式方程平面的截距式方程作业作业:P105: 1(2),2.4:P105: 1(2),2.4第二节 平面与点的相关位置设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点 P0到平面的距离。在平面上任取一点P1(x1, y1, z1)则 P1P0 =x0 x1, y0 y1, z0 z1过P0点作一法向量 n =A, B, C 于是:又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D所以, 得点P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:(4)一、点与平面的距离一、点与平面的距离1. 1. 点与平面的离差点与平面的离差2. 2. 点与平面之间的距离点与平面之间的距离1. 1. 点与平面的离差点与平面的离差定义定义 3.2.1 3.2.1 一点与平面上的点之间的最短距离，叫做一点与平面上的点之间的最短距离，叫做该点与平面之间的该点与平面之间的距离距离。可以看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点可以看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点 位平面位平面 的单位法向的单位法向 所指向的一侧，所指向的一侧， 与与 同向，离差同向，离差 ；在平面的另一侧，；在平面的另一侧， 与与 方向相反，离差方向相反，离差 ，当且仅，当且仅 当当 在平面在平面 上时，离差上时，离差2. 点与平面之间的距离二、平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义二、平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距离三、例题三、例题作业：P109：1（2），2（2）， 4, 10第三节 两平面的相关位置1、设两个平面的方程为：1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1) 2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)定理1：两个平面（1）与（2）相交A1:B1:C