1课堂达标课堂达标( (十一十一) ) 函数与方程函数与方程A 基础巩固练1(2018荆门调研)已知函数yf(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个解析 依题意，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，故函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有 3 个，故选 B.答案 B2(2018郑州质检)已知函数f(x)xcos x，则f(x)在上的零点个数(1 2)0，2为( )A1 B2 C3 D4解析 作出g(x)x与h(x)cos x的图象如图所示，可以看到其在0,2上的(1 2)交点个数为 3，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为 3，故选 C.答案 C3(2018宁夏育才中学第四次月考)已知函数f(x)Error!(aR R)，若函数f(x)在R R 上有两个零点，则a的取值范围是( )A(，1) B(，0)C(1,0) D1,0)解析 当x0 时，f(x)3x1 有一个零点x ，所以只需要当x0 时，1 3exa0 有一个根即可，即 exa.当x0 时，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故选 D.答案 D24(2018北京市西城区一模)函数f(x)2xlog2|x|的零点个数为( )A0 B1 C2 D3解析 函数f(x)2xlog2|x|的零点个数，即为函数 y2x的图象和函数ylog 2|x|的图象的交点个数如图所示：数形结合可得，函数 y2x 的图象和函数ylog 2|x|的图象的交点个数为 2，故选 C.答案 C5(2018山东省实验中学一模试卷)已知函数f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则( )14xAcba BabcCcab Dbac解 由f(x)0 得 exx，由g(x)0 得 ln xx.由h(x)0 得x1，即c1.在坐标系中，分别作出函数yex ，yx，yln x的图象，由图象可知a0,0b1，所以abc.故选：B.答案 B6(2018合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)3x2，则关于x的方程f(x)x在上的根的个数是( )(1 10)0，10 3A1 B2 C3 D4解析 (1)因为f(x)为偶函数，所以当x1,0时，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，故f(x)是以 2 为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在上(1 10)0，10 3的图象如图所示，数形结合得两图象有 3 个交点，故方程f(x)x在上有三个根，(1 10)0，10 3故选 C.答案 C7(2018烟台模拟)函数f(x)cos xlog8x的零点个数为 _ .解析 由f(x)0 得 cos xlog8x，设ycos x，ylog8x，作出函数ycos x，ylog8x的图象，由图象可知，函数的零点个数为 3.答案 38已知 0a1，k0，函数f(x)Error!若函数g(x)f(x)k有两个零点，则实数k的取值范围是_解析 函数g(x)f(x)k有两个零点，即f(x)k0 有两个解，即yf(x)与yk的图象有两个交点分k0 和k0 作出函数f(x)的图象当 0k1 时，函数yf(x)与yk的图象有两个交点；当k1 时，有一个交点；当k1 或k0 时，没有交4点，故当 0k1 时满足题意答案 (0,1)9(2018福建省三明市二模)已知函数f(x)log2x，g(x)x2，则函数yg(f(x)x零点的个数为_解析 令f(x)log2xt，得x2t，yg(f(x)xg(t)2tt22t，令t22t0 得t2 或t4，作出yt2和y2t的函数图象，由图象可知t22t0 在(，0)上有一解，故方程t22t0 共有 3 解，又f(x)log2x是单调函数，f(x)t有 3 解，yg(f(x)x有 3 个零点故答案为 3.答案 310(2018海淀一模)已知函数f(x)x22x，g(x)Error!.(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0 有 4 个实数根，求实数a的取值范围解 (1)f(1)12213，gf(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有 2 个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，如图所示，由图象可知，当 1a 时，函数yg(t)5 4(t1)与ya有 2 个不同的交点，即所求a的取值范围是.1，5 4)5B 能力提升练1(2018郑州模拟)已知x0是函数f(x)ln x的一个零点，若x1(1，x0)，1 1xx2(x0，)，则( )Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析 令f(x)ln x0.1 1x从而有 ln x，此方程的解即为函数f(x)的零点在同一坐标系中作出函数1 x1yln x与y的图象如图所示1 x1由图象易知，ln x1，从而 ln x10，故 ln x10，即f(x1)1 x111 x111 1x10.同理f(x2)0.答案 D2(2018哈师大模拟)若定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)Error!则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是( )A5 B7 C8 D10解析 依题意得，函数f(x)是以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有 8 个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点个数是 8.答案 C3(2018衡水期中)若a1，设函数f(x)axx4 的零点为m，函数g(x)logaxx4 的零点为n，则 的最小值为 _ .1 m1 n6解析 设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0)因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为 2，所以mn4.又m0，n0，所以 ( )1 m1 n1 m1 nmn 41.1 4(2n mm n)1 4(22n mm n)当且仅当 ，即mn2 时等号成立n mm n所以 的最小值为 1.1 m1 n答案 14若函数f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为 _ .解析 令g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1，令g(x)0，即 ln x1，可解得 0x ；令g(x)0，1 e即 ln x1，可解得x ，所以，当 0 时，函数g(x)单1 e1 e1 e调递增，由此可知当x 时，g(x)min .在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图1 e1 e如图所示，据图可得 a0.1 e答案 (1 e，0)5设函数f(x)(x0)|11 x|(1)作出函数f(x)的图象；(2)当 0ab，且f(a)f(b)时，求 的值；1 a1 b(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围7解 (1)如图所示(2)f(x)|11 x|Error!故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由 0ab且f(a)f(b)，得 0a1b，且 11 ， 2.1 a1 b1 a1 b(3)由函数f(x)的图象可知，当 0m1 时，方程f(x)m有两个不相等的正根C 尖子生专练已知函数f(x)log4(4x1)kx(kR R)为偶函数(1)求k的值；(2)若方程f(x)log4(a2xa)有且只有一个根，求实数a的取值范围解 (1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即 log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，即(2k1)x0，k .1 2(2)依题意有 log4(4x1)xlog4(a2xa)，1 2即Error!令t2x，则(1a)t2at10(*)，只需其有一正根即可满足题意当a1，t1 时，不合题意(*)式有一正一负根t1，t2，即Error!得a1，经验证正根满足ata0，a1.(*)式有相等两根，即0a22，2此时t，a 2a1若a2(1)，则有t0，此时方程(1a)t2at10 无正根，故2a 2a1a2(1)舍去；2若a2(1)，则有t0，2a 2a1且a2xaa(t1)a0，因此a2(1)a 2a11a2a 2a128综上所述，a1 或a22.2