1课时跟踪训练课时跟踪训练( (五十一五十一) ) 双曲线双曲线基础巩固一、选择题1(2017江西九江一模)若双曲线mx22y22 的虚轴长为 4，则该双曲线的焦距为( )A2 B. C2 D.5533解析 双曲线方程为y21， 4，m ，双曲线的焦距为 2，故x22m2 m1 25选 A.答案 A2(2017全国卷)若a1，则双曲线y21 的离心率的取值范围是( )x2 a2A(，) B(，2)22C(1，) D(1,2)2解析 依题意得，双曲线的离心率e，因为a1，所以e(1，)，选 C.11 a22答案 C3(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21 的右焦点，P是C上一点，且PFy2 3与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为( )A. B. C. D.1 31 22 33 2解析 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2 时，代入双曲线C的方程，得 41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴；y2 3又PFx轴，所以APPF，所以SAPF |PF|AP| 31 .故选 D.1 21 23 2解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2 时，代入双曲线C的方程，得 41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以(1,0)，y2 3AP(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF |PF|AP| 31 .故选PFAPPF1 21 23 2D.答案 D4(2017天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的x2 a2y2 b22渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )A.1 B.1x2 4y2 12x2 12y2 4C.y21 Dx21x2 3y2 3解析 由OAF是边长为 2 的等边三角形可知，c2， tan60，又b a3c2a2b2，联立可得a1，b，双曲线的方程为x21.3y2 3答案 D5(2018广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x21 的两个焦点，P是双曲线y2 24上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于( )A4 B8 C24 D4823解析 依题意，得F1(5,0)，F2(5,0)，|F1F2|10.3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则|PF1|x.4 3由双曲线的性质知xx2，解得x6.4 3|PF1|8，|PF2|6，F1PF290，PF1F2的面积 8624.故选 C.1 2答案 C6(2016天津卷)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为x2 4y2 b2半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A.1 B.1x2 43y2 4x2 44y2 3C.1 D.1x2 4y2 4x2 4y2 12解析 根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有Error!Error!则xy b212.故所求双曲线的方程为1，故选 D.16 b24b 2b 2x2 4y2 12答案 D二、填空题7若双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为 10，则该双曲线的方程为_3解析 设双曲线的方程为x24y2(0)，焦距 2c10，c225，当0 时，1，25，20；x2 y2 4 4当0)的左、右焦点和点P(1，)为x2 2y2 b22顶点的三角形为直角三角形，则b等于_解析 设双曲线1(b0)的左、右焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，依题意，x2 2y2 b2kPF 1kPF21，c23，b21，b1.21c21c答案 19(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，x2 a2y2 b2b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析 双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，圆b a心A到此渐近线的距离d，因为MAN60，圆的半径为b，所以|baa 0|b2a2ab cbsin60，即，所以e.ab c3b2ab c232 33答案 2 33三、解答题10如图，已知F1、F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的x2 a2y2 b2直线交双曲线于点P，且PF1F230.求：4(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程解 (1)PF2F190，PF1F230.在 RtPF2F1中，|PF1|，|PF2| |PF1|，|F1F2| cosPF1F22c cos304 3c31 22 3c3又|PF1|PF2|2a，即c2a， ，2 33c a3e .c a3(2)对于双曲线，有c2a2b2，b .c2a2 .b ac2a2a(c a)21312双曲线的渐近线方程为yx.2能力提升11(2017广东佛山一中段考)已知双曲线1 的左、右焦点分别为F1，F2，x2 a2y2 b2过点F1作圆x2y2a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|CF2|，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.6532解析 过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|CD|CF2|，|DF1|2a，由题意，切线的斜率为 ，切线方程为y (xc)，a ba b与yx垂直，2ab，ca，e ，故选 B.b aa2b25c a5答案 B12(2017吉林长春市二模)已知双曲线C1：y21，双曲线x2 4C2：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，x2 a2y2 b25且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是( )A32 B16 C8 D4解析 双曲线C1：y21 的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程x2 452为yx，b a可得|F2M|b，bca2b2即有|OM|a，c2b2由SOMF 216，可得ab16，1 2即ab32，又a2b2c2，且 ，c a52解得a8，b4，c4，5即有双曲线的实轴长为 16，故选 B.答案 B13(2017江西上饶一模)已知双曲线方程为1，若其过焦点的最短弦长x2 m24y2 b2为 2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B.(1，6262，)C. D.(1，62)(62，)解析 由题意，2，a2，2b2 ab，ae ，1b2a211a62e1，10，b0)，其右顶点是A，若x2 a2y2 b2双曲线C右支上存在两点B，D，使ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围6是_解析 双曲线C的渐近线方程为yx，要使ABD为正三角形，则只需过右顶点b aA，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线yx33b a的斜率 ，b1，所以 10，b0)的右焦点为x2 a2y2 b2F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点若|AB| |CD|，则双曲线M的离心率是_3 5解析 设双曲线的右焦点为F(c,0)，易知，|AB|.该双曲线的渐近线方程为2b2 ayx，当xc时，y，所以|CD|.由|AB| |CD|，得 ，即bb abc a2bc a3 52b2 a3 52bc ac，所以ac，所以e .3 5c2b24 5c a5 4答案 5 416设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4x2 a2y2 b2，焦点到渐近线的距离为.33(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2 与双曲线的右支交于M，N两点，O为坐标原点，且在双曲线33的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标OMONOD解 (1)由题意知a2.3一条渐近线为yx，即bxay0，右焦点的坐标为(c,0)，b a由焦点到渐近线的距离为，得.3|bc|b2a237b23，双曲线的方程为1.x2 12y2 3(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线的方程yx2 代入双曲线的方程1，得x216x840，33x2 12y2 33则x1x216，y1y2(x1x2)412，333Error!Error!t4，点D的坐标为(4，3)3延伸拓展1(2017福州市高三质量检测)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点x2 a2y2 b2分别为F1，F2，|F1F2|6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|，则双曲线E的离心率是( )3A2 B. C. D.3532解析 如图所示，设PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得 2a|PF1|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|AF1|PA|AF1|(|PM|AQ|)，|PF2|PM|MF2|PM|QF2|PM|(|AF2|AQ|)所以 2a2|AQ|2，即a3.因为|F1F2|6，所以c3，所以双曲线E的离心率是e ，故选 C.3c a333答案 C2(2017武汉武昌区高三三调)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别x2 a2y2 b2为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )AFFBA. B. C. D.52355 28解析 设实轴长为 2a，虚轴长为 2b，令AOF，则由题意知 tan ，在b aAOB中，AOB1802，tanAOBtan2，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，AB OA设|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan2 ，解得 2 或 (舍去)，1 42tan 1tan2AB OAm 3 4m4 3b ab a1 2b2a，ca，e .故选 C.4a2a25c a5答案 C