学案学案1 1 空间几何体的结构、空间几何体的结构、 视视 图和直观图图和直观图考考 纲纲 解解 读读空间几何体的结构、三视图和直观图1.认识柱、锥、台、球及其组合体的结构特征 ，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体 的结构. 2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简单组合）的三视图，能识别 上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法 画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单 空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的 不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图.1.空间几何体的结构常常在小题中考查，有时也渗透在解答题中考查某个几何体的结构特征.2.直观图常常与三视图同时考查，由几何体的直观图确定三视图或由几何体的三视图确定对应直观图.3.三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空间想象能力，因此要对常见的几何体的三视 图有所理解，并能够进行识别和判断.考考 向向 预预 测测1、多面体与旋转体一般地,把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多 面体.围成多面体的 叫做多面体的面； 相邻两个面的 叫做多面体的棱；棱与棱 的 叫做多面体的顶点.把由一个平面图形绕它所在平面内的 旋 转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转 体的轴.各个多边形 公共边 公共点 一条定直线 2、棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中， 的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 的公共顶点叫做棱柱的顶点.根据底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 两个互相平行 侧棱与底面 3、棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个 公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有 的各 个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥 的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、 、n棱锥.其中三棱锥也叫四面体.4、棱台的结构特征 去截棱锥，底面与 截面之间的部分，叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点， 上、下底面的距离叫棱台的高.公共顶点 用一个平行于棱锥底面的平面 5、圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴 的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 旋 转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂 直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.6、圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两 边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的 轴； 旋转而成的圆面叫做圆锥的底 面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么 位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线.平行于轴的边 垂直于轴的直角边 7、圆台的结构特征用 去截圆锥，底面与截 面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴 、底面、侧面、母线.棱台与圆台统称为台体.8、球的结构特征以 所在直线为旋转轴，半圆面旋 转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做 球的球心,半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球 的直径.9、中心投影和平行投影(1)中心投影： 形成的投影 .(2)平行投影： 形成的投影. 平行于圆锥底面的平面 半圆的直径 光由一点向外散射 在一束平行光线照射下 10、三视图一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在 ，长度和正(主)视图一样，侧(左)视图放在 ，高度和主视图一样，宽度与俯视图一样.11 11、斜二测画法的步骤、斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴、z轴，相 交于O点，画直观图时，画成相应的x轴、y轴、z轴， 相交于O点，使xOy= ，zOx= .(2)已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直 观图中分别画成平行于 的线段 .(3)已知图形中平行于x轴、z轴的线段，在直观图 中 ，平行于y轴的线段，长度为 .原来的一半 正（主）视图的下面 正视图的右面 45(135) 90 x轴、y轴、z轴 保持原长度不变 基础检测v1、设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是 长方形；棱长相等的直四棱柱是正方形；v有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直 平行六面体；v对角线相等的平行六面体是直平行六面体。v以上四个命题中，真命题的个数是 （ ）vA.1 B.2 C.3 D.4v答案：A基础检测v2、给出下列命题：v在圆柱的上下底面上各取一点，则这两点的连线是圆柱的 母线；v圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的的连线是圆锥的母线 ；v在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆台的母线；v圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。v其中正确的是 （ ）vA. B. C. D.v答案：D例1v1、下列说法正确的是 （ ）vA有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫 做棱柱vB有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何 体叫叫做棱柱vC有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥vD棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面 与底面之间的部分v答案：DvA有可能是台体，B有可能是组合体，C有可 能是台体v2.下列结论正确的是 （ ）vA.各个面都是三角形的几何体是三棱锥vB.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边 旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥vC.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱 锥可能是六棱锥vD.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是 母线【解析】A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一 定是棱锥.B错误.如图，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C显然错误.故应选D.名师伴你行返回目录 解决这些问题必须充分理解柱、锥、台、球等有关几何体的定义，抓住定义中的本质.v【例2】 (2008海南、宁夏高考改编)如 下的三个图中，上面的是一个长方体截 去一个角后所得多面体的直观图 ，它的 正视图 和侧视图 在下面画出(单位：cm) v在正视图 下面，按照画三视图 的要求画 出该多面体的俯视图 v思路分析：根据正视图和侧视图可确定出 点G、F的位置，从而可以画出俯视图v解：如下图v变式迁移 2 把本例中的几何体上下颠倒 后如图，试画出它的三视图 v解：三视图：（1）三视图的正(主)视图、侧（左）视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个 侧面的特点.（2）画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线.坦 克 来 了 ！达标检测1.中心投影法 投影线汇交于一点的投影法.中心投影法sABCabcHABCabcABCabcHH平行投影法2.平行投影法 投影线相互平行的投影法. （1）斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. （2）正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.斜 投 影 法正 投 影 法v3如果圆锥 的侧面展开图是半圆，那么 这个圆锥 的顶角(圆锥轴 截面中两条母线 的夹角)是( )vA30 B45vC60 D90v解析：设母线为l，底面半径为r，则l 2r.vv母线与高的夹角为30.圆锥的顶角为 60.v答案：Cv4如下图所示为长 方体木块堆成的几何 体的三视图 ，此几何体共由_块 木块堆成v解析：该几何体底层有3块木块，上层1块 木块v答案：4v5如下图，是一个正方体的展开图，在 原正方体中，相对的面分别是_ v解析：将展开图还原为正方体，可得与 相对，与相对，与相对v答案：与，与，与v6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标 记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正 方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平 ，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是vA. 南 B. 北vC. 西 D. 下v解：展、折问题。易判断选B7、2010年高考广东卷如图，ABC为正三角形，AABBCC,CC平面ABC且3AA= BB=CC=AB,则多面体ABCABC的正（主）视图是( )考点考点4 4 三视图三视图 【解析】由AABBCC及CC平面ABC,知BB平面ABC.又CC= BB,且ABC为正三角形,故正（主）视图应为D中的图形.故应选D.【分析】根据图形和数据，按正（主）视图画法确定选项.2010年高考辽宁卷如图，网格纸的小 正方形的边长是1，在其上用粗线画出了 某多面体的三视图，则这个多面体最长的 一条棱的长为 .8、(由正(主)视图和俯视图 可知几何体是正方体切 割后的一部分(四棱锥C1 ABCD),还原在正方体 中,如图所示.多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,由 正方体棱长AB=2知最长 棱的长为 .)2010年高考北京卷一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所 示，则该几何体的俯视图为( )9、【分析】由正(主)视图和侧(左)视图探讨几何体直观图，并由直观图画出俯视图.【解析】由三视图中的正(主)、侧（左）视图得到几何的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.故应选C.本题考查了三视图的知识，解题的关键是理解、掌握三视图与直观图的关系，特别是应明确三视图是从几何体 的哪个方向看到的.v10.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别 是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何 体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）v答案：AEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底边和高，将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是 使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段的长度变为直观图中平行于y轴的线段长度的2倍.1.1.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一 半构成的直角三角形中解决半构成的直角三角形中解决. .2.2.圆柱、圆锥、圆台、球