范例3.8 火箭发射的高度，速度和加速度火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力 的发动机。如果火箭在自由空间飞行，不受引力或空气 阻力等任何外力的影响，其飞行速度公式是什么？如果火箭在地球表面从静止竖直向上发射，燃料的燃烧 速率为，在不太高的范围内，不计空气阻力，其飞行 速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？假设火箭发射前的质量为M0 = 2.5106kg，燃料的燃烧速 率为 = 1.0104kg/s，燃料燃烧后喷出的气体相对火箭的 速率为u = 3.0103m/s，火箭点燃的60s内，高度、速度和 加速度随时间变化的规律是什么？最后达到什么值？如图所示，在t时刻火箭的质量为M， 速度大小为v，则动量大小为p = Mv。解析在无重力的空间，把火箭和剩下的燃料作为研究对象。经过时间dt，火箭喷出质量为dm的气体 ，喷出的速度相对火箭为定值u，相对自 由空间的速度为v - u，动量为(v - u)dm。范例3.8 火箭发射的高度，速度和加速度MvM-dmv+dvdmuuvv-u火箭的质量为M dm，速度增为 v + dv，动量为(M - dm)(v + dv)。总动量为p = (M - dm)(v + dv) + (v - u)dm。由于M0 = M + m，所以dm = -dM。即火箭喷出的质量等于其质量的减小量。化简后略去二阶无穷小量dMdv，可得Mdv + udM = 0。根据动量守恒定律得Mv = (M + dM)(v + dv) - (v - u)dM。分离变量得积分得v = -ulnM + C范例3.8 火箭发射的高度，速度和加速度设火箭的质量为M0时，其速度为 v0，可得C = v0 + ulnM0，因此火箭质量从M0减少到M时，火箭的速度则由v0增加到v。如果火箭开始飞行时速度为零，质量为M0，燃料烧尽时火箭 剩下的质量为m0，由上式可计算火箭能够达到的最大速度。M0/m0称为质量比，火箭的喷气速度越大， 质量比越大，所能达到的速度就越大。Mdv + udM = 0但是这两项都 受到技术限制 。火箭起飞时,第一级火箭开始工作；当燃料烧尽后，第一级的 外壳就自动脱落，第二级火箭接着工作，使火箭进一步加速 。前一级火箭脱落，使后一级火箭减负，提 高了质量比，因而可获得更大的最终速度 。这就是多级火 箭的工作原理 。这是著名的 齐奥尔科夫 斯基公式。假设火箭在地球表面向上发射，其初速度为零，初始质量为M0。范例3.8 火箭发射的高度，速度和加速度重力加速度g使火箭速度减少gt， 因此火箭在地面上发射的速度为依速度公式v = dz/dt，可得dz = ulnM0 uln(M0 t) gtdt，积分得当t = 0时，z = 0，可得火箭上升的高度为取向上的方向为正，经过飞行时间t，火箭剩下的 质量为M = M0 - t，是燃料燃烧的速率dm/dt；火箭的加 速度为 当t = 0时，由于a 0，必有条件u M0g ，否则，火箭 无法起飞。火箭的速度随时间的延长而加速 增加，最后的速度达到235.3m/s。火箭的高度随时间的延长也是加速 增加的，最后的高度达到5931m。火箭一点火，加速度就不为零，约为 2.2m/s2；火箭的加速度随时间的延长仍然 是加速增加的，最后的加速度接近6m/s2。