一、数学期望的概念三、数学期望的性质二、一维随机变量函数的数学期望四、小结第一节 数学期望设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击 90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例1 射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数 k命中次数频率一、数学期望的概念 解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量 Y .平均射中环数 频率随机波动随机波动随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加1. 离散型随机变量的数学期望射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期 望注： 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 。随机变量 X 的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.试问哪个射手技术较好?实例1 谁的技术比较好?乙射手甲射手故甲射手的技术比较好.实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资?解设 X 为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.解例3 已知随机变量X服从几何分布，其分布律为令 其中0p1,q=1-p，求数学期望E(X).实例4 分组验血解2.连续型随机变量数学期望的定义解因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例5 顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?设随机变量则有例6 求E(X).解例71. 离散型随机变量函数的数学期望解二、一维随机变量函数的数学期望设随机变量 X 的分布律为例8则有因此离散型随机变量函数的数学期望为若 Y=g(X), 且则有定理 ： 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，(2)若X 的概率密度为 f ( x )（1）若 X 的分布律为2. 连续型随机变量函数的数学期望例9 设解练习 设解因为性质1 设 C 是常数, 则有性质2 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有例如三、数学期望的性质 性质4性质3 设 X 是一个随机变量,a,b常数, 则有推广解实例10例11 设解方法1解方法2若改用性质4则方便许多.例11 设四、小结1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.2. 数学期望的性质习题3.1 2;3;5;8