第二章 薛定谔方程7 箱中粒子经典粒子被限制在箱中运动与一个微观粒 子被限制一个微观尺度的箱中运动对比在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果 进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在 这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子7.1箱中粒子的哈密顿以一维定态为例，求解已知势场的定态 薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E， 从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结 果。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：7.2 求解一维定态薛定谔方程第二章 薛定谔方程7 箱中粒子在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零：根据波函数的标准化条件，在边界上所以，粒子被束缚在阱内运动。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子在阱内的薛定谔 方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：所以，n不能取零，否则无意义。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论由归一化条件第二章 薛定谔方程7 箱中粒子 一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。 讨论1、零点能的存在 称为基态能量。2、 能量是量子化的。是由标准化条件而来。 能级间隔：当 能级分布可视为连续的。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 .势阱中相邻能级之差能量能级相对间隔当 时， ，能量视为连续变化.第二章 薛定谔方程7 箱中粒子例1：电子在 的势阱中 .（近似于连续）当 时, （能量分立）当 很大时， ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .物理意义第二章 薛定谔方程7 箱中粒子 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度第二章 薛定谔方程7 箱中粒子1n不能取零，否则无意义。简并、宇称。7.3 箱中粒子的一些性质第二章 薛定谔方程7 箱中粒子2.正交归一关系3.在定态或叠加态时的测量结果问题4.能量的期望值第二章 薛定谔方程7 箱中粒子5.粒子位置的期望值6.动量的概率分布它的逆变换第二章 薛定谔方程7 箱中粒子例2、已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ， n = 1, 2, 3, 试计算n = 1时，在 x1 = a/4 x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率 第二章 薛定谔方程7 箱中粒子解：找到粒子的概率为 0.818第二章 薛定谔方程7 箱中粒子例3、已知描述单粒子一维束缚状态的两个本征函数分别 为波函数为试求这两个状态的能级间隔。 第二章 薛定谔方程7 箱中粒子解：两个波函数都满足定态薛定谔方程 第二章 薛定谔方程7 箱中粒子例4、一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间， 如图所示描写粒子状态的波函数为 ，其中c 为待定常量求在 0 区间发现该粒子的概率 第二章 薛定谔方程7 箱中粒子解：由波函数的性质得 即 ， 由此解得 ， 设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则 第二章 薛定谔方程7 箱中粒子2、 势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中,若 ,粒子的动能 为正, 它只能在 I 区中运动。 OIIIIII定态薛定谔方程 的解又如何呢？第二章 薛定谔方程7 箱中粒子令：三个区间的薛定谔方程化为：IIIIII第二章 薛定谔方程7 箱中粒子若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反射波 ；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有 透射波。粒子在 处的概率要大于在 处出 现的概率。其解为：根据边界条件 ：第二章 薛定谔方程7 箱中粒子求出解的形式画于图中。IIIIII隧道效应量子力学结果分析： （1）EV0情况在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到xa区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）EV0情况在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子隧道效应和扫描隧道显微镜STM1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面 作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们 的表面电子云就可能重叠。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过 电极间的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制 隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；空气隙STM工作示意图样品探针利用STM可以分辨表面上原子 的台阶、平台和原子阵列。可以 直接绘出表面的三维图象第二章 薛定谔方程7 箱中粒子使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质 表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。 在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大 的意义和广阔的应用前景。利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子 扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工 作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一 种技术都有其局限性。下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果第二章 薛定谔方程7 箱中粒子这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原 子到Cu表面上构成的量子围栏。1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。这是 他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约0.5纳 米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称世界上最 小的人形图案。第二章 薛定谔方程7 箱中粒子1994年初，中国科学院真空物理实 验室的研究人员成功地利用一种新 的表面原子操纵方法，通过STM在 硅单晶表面上直接提走硅原子，形 成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的 线条。从STM获得的照片上可以清 晰地看到由这些线条形成的“100”字 样和硅原子晶格整齐排列的背景。用扫描隧道显微镜观察 到砷化镓表面砷原子的 排列图如下第二章 薛定谔方程7 箱中粒子用扫描隧道显微镜观察到硅表面77重构图 硅表面硅原子排列