第一章 导论计量经济学的性质和经济数据1计量经济学“四大过程”模型设计： 理论假说 理论模型 计量模型模型估计： 数据 估计方法模型检验： 经济 统计 计量模型应用： 预测 制定政策2计量模型“四个要素”Y= 1+2X+u3、方程式4、随机扰动项2、参数1、变量3第二章 简单回归模型4本章大纲u简单回归模型的定义u普通最小二乘法的推导uOLS的操作技巧u测量单位和函数形式uOLS估计量的期望值和方差u过原点回归5术语注解u线性的含义： y 和x 之间并不一定存在线 性关系，但是，只要通过转换可以使y的转 换形式和x的转换形式存在相对于参数的线 性关系，该模型即称为线性模型。6关于u的假定u我们假定总体中误差项u的平均值为零. E(u) = 0(2.5)u该假定是否具有很大的限制性呢?7关于u的假定u如果, E(u)=5. 则y = (b0 +5)+ b1x + (u-5), 从而, E(u)=E(u-5)=0.u上述推导说明我们总可以通过调整常数项 来实现误差项的均值为零, 因此该假定的限 制性不大.8条件期望零值假定 u我们需要对u和 x之间的关系做一个关键假 定。u理想状况是对x的了解并不增加对u的任何 信息。u换句话说，我们需要u和 x完全不相关。E(u|x) = E(u)。9条件期望零值假定 u由于我们已经假定了E(u) = 0，因此有E(u|x) = E(u) = 0. (2.6)u该假定是何含义？10条件期望零值假定 u(2.6)说明总体回归函数应满足E(y|x) = b0 + b1x.u该函数是x的线性函数，y的分布以它为中 心。11普通最小二乘法的推导u回归的基本思想是从样本去估计总体参数。 。12普通最小二乘法的推导13因此OLS估计出的斜率为14关于OLS的更多信息u OLS法是要找到一条直线，使残差平方和 最小。u残差是对误差项的估计，因此，它是拟合 直线（样本回归函数）和样本点之间的距 离。15OLS的代数性质u回归元（解释变量）和OLS残差之间的样 本协方差为零uOLS回归线总是通过样本的均值。16OLS的代数性质u我们可把每一次观测看作由被解释部分和 未解释部分构成.u预测值和残差在样本中是不相关的17证明 SST = SSE + SSR18拟合优度u我们如何衡量样本回归线是否很好地拟合了样本 数据呢?u可以计算模型解释的总平方和的比例，并把它定 义为回归的R-平方u R2 = SSE/SST = 1 SSR/SST19自然对数u 20假定SLR.1 （关于参数是线性的）u在总体模型中，因变量 y 和自变量 x 和残差u 的关系可写作 y = b0 + b1x + u , 其中 b0 和 b1 分别是总体的截距参数和斜率参数21假定SLR.2 (随机抽样):u假定我们从总体模型随机抽取容量为n的样 本, (xi, yi): i=1, 2, , n, 那么可以写出样 本模型为：yi = b0 + b1xi + ui22Assumptions SLR.3 and SLR.4uSLR.3, 零条件期望：u假定 E(u|x) = 0 . 那么在随机样本中我们有 E(ui|xi) = 0SLR.4 (自变量中的样本变动): 在样本中，自变量 x 并不等于一个不变常数。23定理2.1 ( OLS的无偏性)u使用假定SLR.1到SLR.4，我们可以得到 无论b0,和b1 取什么值，它们的OLS估计量 的期望值等于它们各自的真值。24无偏性总结ub1 和 b0 的OLS估计量是无偏的u 无偏性的证明依赖于我们的四个假定-如果任 何假定不成立，OLS未必是无偏的u记住无偏性是对估计量的描述-对于一个给定的 样本我们可能靠近也可能远离真实的参数值25OLS估计量的抽样方差在一个附加假定下计算这个方差会容易的 多，因此有u假定 SLR.5 (同方差性):Var(u|x) = s2 (Homoskedasticity)26定理 2.2 ( OLS 估计量的抽样方差 )u在假定 SLR.1 到 SLR.5 下，我们有(2.57):27误差方差估计量(继续)28第三章 多元回归分析： 估计29对多元回归的解释30简单回归估计与多元回归估计31拟合优度32拟合优度如何判断样本拟合优劣?w 计算因变量总离差平方和(SST)中 能由 模型解释的比例, 回归 R-squared w R2 = SSE/SST = 1 SSR/SST33拟合优度(cont)34关于 R2 u 随着解释变量的增加R2 不会下降, 通常会 上升u 鉴于R2 会随着解释变量的增加而上升，模 型间仅仅基于R2 的比较意义不大35无偏假定线性 总体模型关于参数线性: y = b0 + b1x1 + b2x2 + bkxk + u随机抽样从总体中随机抽取容量为 n的样本, (xi1, xi2, xik, yi): i=1, 2, , n, 样本模型为 yi = b0 + b1xi1 + b2xi2 + bkxik + ui 零条件均值E(u|x1, x2, xk) = 0。无完全共线性任何字变量都不是常 数, 自变量之间不存在完全线性关系。36遗漏变量导致的偏差37遗漏变量导致的偏差(cont)38OLS 估计量的方差估计量的抽样分布以真实值为中心希望知道这一分布的分散程度如何如果再附加一条假定，分析估计量的方 差将更容易。所以 假定 Var(u|x1, x2, xk) = s2 (Homoskedasticity)39OLS 估计量的方差(cont)u 以 x 表示 (x1, x2,xk)u 假定 Var(u|x) = s2 也意味着 Var(y| x) = s2u 个无偏假定再加上同方差假定，就是 Gauss-Markov 假定40OLS 估计量的方差(cont)41对误差方差（Error Variance） 的估计无法知道误差的方差, s2, 因为无法观测 到, ui能够观测到的是残差, i可以利用残差来估计误差的方差42误差方差的估计(cont)u df = n (k + 1）= n k 1u df (自由度) (样本容量) (估计参数的个 数)43Gauss-Markov 定理u 在个 Gauss-Markov 假定前提下，OLS估 计量是 最佳线性无便估计（）u Bestu Linearu Unbiasedu Estimatoru 所以, 假定前提成立, 放心使用OLS44第四章 多元回归分析:推断y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u45经典线性模型假定 (CLM)u截至目前,我们知道,在 Gauss-Markov 假定 前提下, OLS 是BLUE, u 为了进行经典假设检验, 我们需要增加其 他假定 (在 Gauss-Markov 假定之外)u 假定 u 独立于 x1, x2, xk 而且 u 服从均值 为零,方差为s2的正态分布:u Normal(0,s2)46CLM假定(cont)u 在CLM假定下, OLS 不仅仅是 BLUE, 而且 是具有最小方差的无偏估计量u 可以把关于总体的CLM 假定总结如下y|x Normal(b0 + b1x1 + bkxk, s2)u虽然可以暂时作出正态性假定, 很显然有时 实际并非如此u 大样本可以使我们无须为正态假定烦恼47t 检验48t 检验(cont)u 知道了估计量标准化以后的抽样分布,就可 以进行假设检验u 从零假设( a null hypothesis)开始u 例如, H0: bj=0u 如果接受零假设, 也就意味着认为 :控制住 其他的x, xj 对 y没有影响.49t 检验 (cont)50yi = b0 + b1xi1 + + bkxik + uiH0: bj = 0 H1: bj 0c0a(1 - a)单侧对立假设(cont)无法拒绝 拒绝51c0a/2(1 - a)-ca/2双侧对立假设拒绝拒绝无法拒绝52对于 H0: bj = 0的总结u 除非特意声明，否则对立假设是双侧假设u 如果拒绝了零假设, 通常说 “xj 在a % 水平 上统计显著”u 如果无法拒绝零假设,我们通常会说 “xj 在 a % 水平上统计不显著”53其他假设的检验u t 检验的更一般的形式可能会是希望检验 类似于H0: bj = aj 这样的假设u这种问题中,恰当的 t 统计量是54置信区间u 使用经典统计检验的另一种方法是使用双 侧检验中的临界值构造置信区间u (1 - a) % 置信区间的定义是55计算 t 检验的p值(p-value )u可以用另一种方法取代经典检验方法 “零假设能够被拒绝的最小显著性水平是多 少?”u 从而,计算 t 统计量,然后查表看它对应于t 分布中的分位点这就是 p-valueu p-value 就是,如果零假设成立,我们能够得 到前述计算出的t 统计量的概率56多重线性约束检验u 到目前为止所做的检验只包含一个线性约 束, (例如: b1 = 0 或者b1 = b2 )u 但有时可能可能需要对参数的多重约束进 行联合检验u 一个典型的例子是检验 “排除性约束” 希望知道一组参数是否都等于零57对排除性约束的检验u 如果零假设类似于 H0: bk-q+1 = 0, . , bk = 0u 对立假设是 H1: H0 不正确u 不能单独检查各个 t 统计量, 因为我们想知 道这 q 个参数是否在一个给定的显著性水 平上 联合 显著很可能在这一显著水平 上任何一个都不显著58对排除性约束的检验(cont)u 进行这种检验需要估计包含所有变量x 的不受约 束模型(“unrestricted model” )以及不包含xk-q+1, , xk 的受约束模型u从直觉上看,我们希望知道SSR的变化是不是足以 保证把 xk-q+1, , xk 包括在模型59F 统计量uF 总是正数, 这是因为受约束模型中的 SSR 不会比不受约束模型中的 SSR 小u 实际上F统计量可以衡量 从不受约束模型 变化到受约束模型时SSR 的相对变化u q = 约束个数, 或者 dfr dfuru n k 1 = dfur60F 统计量 (cont)u 为了确定从不受约束模型变化为受约束模 型时SSR 的变化是否 “足够大” 从而能够拒 绝排除, 需要知道 F 统计量的样本分布uF Fq,n-k-1, 其中 q 是分子自由度 , n k 1 是分母自由度 610ca(1 - a)f(F)FF 统计量 (cont)拒绝无法拒绝如果F c,在 a 显 著水平上拒绝H062F统计量的 R2 形式u 由于 SSR可能很大,计算麻烦, 可以使用另外一种 方便的替代方法u 由于 SSR = SST(1 R2), 带入 SSRr 和 SSRur中,于 是63模型总体显著性u 一种特殊的排除性约束是检验 H0: b1 = b2 = bk = 0u 在一个只含有截距的模型中 R2 为0, F 统计量成 了64一般线性约束uF统计量的基本形式 适合于任何线性约束 检验u 首先估计不受约束模型,然后估计受约束模 型u 每次估计时都记录下 SSRu 施加约束可能需要技巧很可能需要重 新定义变量65回归结果的报告66回归结果的报告(cont )解释变释变 量: log(salary) 自变变量 (1) (2) (3) b/s -0.825 (.200) -0.605 (.165) -0.589 (.165) log(enroll) 0.0874 (0.0073) 0.0881(0.0073) log(staff ) -0.222(0.050) -0.218(0.050) droprate -0.00028(0.00161) gradrate 0.