数理统计部分 专题一：方差分析与协方差分析 专题二：回归方程1.一元回归2.多元回归3.逐步回归4. 标准化回归 专题三：非参数统计专题一：方差分析与协方差分析1. 单因素试验及有关的基本概念在试验中，有可能影响试验指标并且有可 能加以控制的试验条件称为因素。通过试 验的设计，在试验中只安排一个因素有所 变化、取不同的状态或水平，而其余的因 素都在设计的状态或水平下保持不变的试 验称为单因素试验。 一、单因素方差分析可设单因素试验的因素为A，共有A1、A2、 、Ar等r个水平、分别安排了n1、n2、 nr次重复试验，其中的第i个水平Ai安排了ni 次重复试验，所得到的样本为Xi1、Xi2、 Xini，相应的观测值为xi1、xi2、xini，式中 的n1+n2+nr= n。 水平 观测值A1 x11 x12 x1n1 A2 x21 x22 x2n2 Ar xr1 xr2 xrnr 在单因素试验中，假设有r个编号为i1至 r的正态总体，它们分别服从N(i,2)分布， 当i及2未知时，要根据取自这r个正态总 体的r个相互独立且方差相同的样本检验原 假设H0：各i(i=1至r)相等，所作的检验以 及对未知参数的估计称为方差分析。 称为总平均值 ,总离均差平方和的分解结论1）SST=SSE+SSA； 结论2）结论3）当H0为真时， 结论4）当H0为真时，SSE、SSA相互独立； 结论5）当H0为真时，2 单因素方差分析的计算 data ex；do a=1 to 3；input n ； do i=1 to n； input x ； Output；end；end； Cards； 8 21 29 24 22 25 30 27 26 10 20 25 25 23 29 31 24 26 20 21 6 24 22 28 25 21 26 ； proc anova; class a;model x=a； means a/duncan cldiff；run;例1.1切胚乳试验用小麦种子进行切胚 乳试验，设计分3种处理，同期播种在条件较 为一致的花盆内，出苗后每盆选留2株，成熟 后测量每株粒重(单位：g)，得到数据如下：处理未切去胚乳切去一半胚乳切去全部胚乳每株粒重21,29,24,22,25,30,27,2620,25,25,23,29,31,24,26,20,2124,22,28,25,21,26方差来源A误差总和平方和6.77 223.73 230.50自由度22123均方和3.3910.65F值0.32显著性N例1.2药剂处理用4种不同的药剂处 理水稻种子，发芽后观测到苗高(单位： cm)如下：处理1234 苗 高19, 23, 21, 1321, 24, 27, 2020, 18, 19, 1522, 25, 27, 22data ex;do a=1 to 3;do i=1 to 5 ; input x ; output;end;end; cards; 19 23 21 13 21 24 27 20 20 18 19 15 22 25 27 22 ; proc anova; class a;model x=a; means a/duncan cldiff;run;方差来源A误差总和平方和104118222自由度31215均方和34.679.83F值3.53显著性*二、双因素方差分析（一）不考虑交互作用的双因素方差分析1.理论通过试验的设计，在试验中只安排 两个因素有所变化、取不同的状态或水 平，而其他的因素都在设计的状态或水 平下保持不变的试验称为双因素试验。 可设双因素试验的一个因素为A，共有 A、A、A等r个水平，另一个因素为B ，共有B、B、B等s个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排一次 试验，其中A因素的A水平与B因素的B水 平搭配安排试验所得到的样本为X，相应 的观测值为x 服从 F(s-1,(r-1)(s-1)分布 方差来源平方和自由度均方 和F值显著性AB误差总和SSASSBSSESSTr-1s-1 (r-1)(s-1) rs-1MSAMSBMSEFAFB服从F(r-1,(r-1)(s-1)分布 2.不考虑交互作用的双因素方差分析的计算data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x ;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;（二）考虑交互作用的双因素方差分析 1.理论 考虑交互作用的双因素试验 可设双因素试验的一个因素为A，共有A1、A2 、Ar等r个水平，另一个因素为B， 共有B1、B2、Bs等s个水平。这两个因素的 水平互相搭配各安排m次试验，其中A因 素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到 的样本为X，相应的观测值为x。服从F(r-1,rs(m-1)分布 服从 F(s-1,rs(m-1) )分布 服从 F(r-1)(s-1),rs(m-1)分布 方差 来源平方 和自由度均方 和F值显著 性ABAB误差总和SSASSB SSABSSESSTr-1s-1(r-1)(s-1) rs(m-1) rsm-1MSAMSBMSABMSEFAFBFAB考虑交互作用的双因素方差分析data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 3;do i=1 to 2; input x ;output;end;end;end; cards; 58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.8 49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.460.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7 75.8 71.5 58.2 51 48.7 41.4 ; proc anova;class a b;model x=a b a*b;means a b/duncan cldiff;run; 统计控制的基本概念 如果在单因素、双因素或多因素试验中有无法控制的因 素x影响试验的结果Y，且x可以测量、x与Y之间又有显著 的线性回归时，常常利用线性回归来矫正Y的观测值、消 去x的差异对Y的影响。例如，研究施肥对苹果树产量的影 响，由于苹果树的长势不齐，必须消去长势对产量的影响 。又如，研究饲料对动物增重的影响，由于动物的初重不 同，必须消去初重对增重的影响。这种不是在试验中控制 某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对 试验指标的值作出调整的方法称为统计控制，可以作为试 验控制的辅助手段。以统计控制为目的，综合线性回归分 析与方差分析所得到的统计分析方法，称为协方差分析， 所需要统计控制的一个或多个因素，例如苹果树的长势， 又如动物的初重等等称为协变量。三、单因素协方差分析 1.理论施用三种肥料的产量矫正后有极显 著的差异 data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8; input x y ;output ;end;end; cards; 47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66 ; proc glm;class a;model y=x a/solution; lsmeans a/stderr pdiff;run;四、双因素协方差分析 （一）不考虑交互作用的双因素协方差分析方差来源平方和自由 度均方和 F值 显著性A QA r-1 MQA FAB QB s-1 MQB FB误差 QErs-r-s MQE总和 QT rs-2data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ; input x y ;output; end; end; cards; 8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.88 10 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.06 12 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89 ; proc glm;class a b ;model y=x a b/solution; lsmeans a b/stderr pdiff;run;方差来 源平方和 自由 度均方 和F值 显著 性A0.6046 2 0.3023 2.49 NB7.1245 4 1.7811 14.66 *误差0.8502 7 0.1215总和8.5793 13各小区的产量矫正后没有显著的差异，各品 种的产量矫正后有极显著的差异。（一）考虑交互作用的双因素协方差分析方差来 源平方 和自由度 均方和 F值 显著 性A QA r-1 MQA FAB QB s-1 MQB FBAB QAB(r-1)(s-1) MQAB FAB误差 QErs(m-1)-1 MQE总和 QT rsm-2方差 来源平方和自 由 度均方和 F值显著 性A277.43485 3 92.4782866.51 *B 2.845259 3 2.845259 0.20 NAB 12.848100 1 4.282700 0.30 N误差 99.441171 7 14.205882A与B的交互作用矫正后不显著，促生长剂之间的 差异极显著，试验批次间的差异不显著 data ex; do a=1 to 4; do b=1 to 2; do i=1 to 2;input x y ;output;end;end;end; cards; 14.6 97.8 12.1 94.2 19.5 113.2 18.8 110.1 13.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 18.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.618.2 122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 16.4 117.2 17.2 117.9 proc glm; class a b;model y=x a b a*b/solution; lsmeans a b/stderr pdiff;run;