应用空间向量解立体几何之用平面法向量求空间距离BAaMNnab一、求异面直线的距离方法指导:作直线a、b的 方向向量a、b，求a、b的法 向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量； 在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； 求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为方法指导:作直线a、b的 方向向量a、b，求a、b的法 向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量； 在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； 求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz练习:如图,ASCDBxyz例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG 平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD 的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFE如图点P为平面外一点，点A为平面内的任 一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂 线PO，记PA和平面所成的角为，则点P 到平面的距离nAPO二、求点到平面的距离例3、已知正方形ABCD的边长为4， CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz练习:SBCDAxyz例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD ，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N 、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点， 求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MN EFxyz四、求平行平面与平面间距离小结：1、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或 共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模 。结论1anPAOMN结论2BAaMNnab