第2章 单自由度系统 第一节 引言 第二节 无阻尼自由振动 第三节 阻尼自由振动 第四节 单自由度系统的简谐强迫振动 第五节 简谐强迫振动理论的应用 第六节 周期强迫振动 第七节 非周期强迫振动 单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为 单自由度振动系统。单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二 阶线性常微分方程描述它的振动规律。 单自由度系统在振动理论及其应用中是最基本的 ，是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法 的基础。2.1 引言 几种单自由度系统的示例:2.2 无阻尼自由振动 自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振 动形态。其振动规律完全取决于系统本身的性质。2.2.1 运动微分方程在不考虑系统振动时能量耗散的条件下，单自由度系 统模型可以化简为图22所示的无阻尼模型。图 22 列出系统的运动微分方程的4个步骤： 1. 取坐标：取定一个坐标系以描述系统的运动，原点为静 平衡时质量所在位置。取定一坐标系Ox，O点为原点，弹簧无变形时质量在 原点上。 2. 取质量隔离体，分析其受力情况：设质量沿坐标正向有 一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。设质量沿坐标正向移动了x，弹簧左端受约束不能运动 ，因而位移为零，弹簧右端位移为x-0x。这样，弹簧的 总变形量为两端位移之差，等于x。因此弹簧力 3. 列运动微分方程：按牛顿第二定律写出运动微分方程 上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助 于简化问题的求解。以下例说明。例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件 为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图23(a)所示，忽 略阻尼。图 23在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望 方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。 结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时 间无关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系 统的静力响应和动力响应，系统的总响应为静力响应 和动力响应之和。2.2.2 求固有频率的方法1静态位移法 2.能量法 系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关 系也能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能 量法求固有频率有两种方法：例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一 转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索 无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度 系统，求系统的固有频率。图 2-5讨论：取质量m的位移为描述系统运动的坐标重算 一遍该系统的固有频率，其结果应与上面相同。系 统的固有频率与所选取的坐标系无关。上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳 与滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能 量法对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。补充例题： 习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将 物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地 释放，求此后的运动方程。习题2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设 用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程 、振幅、周期及弹簧力的最大值。习题2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置， 另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T 2.3所示，求其后的运动。图 T2.3 习题2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动， 圆心受到一弹簧k约束，如图T2.4所示，求系统的固有频率 。习题2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位 置，如图T2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周 期。图 T2.5习题2.6 求如图T2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂 ，且k22k1，k3=k1。图 T2.6习题2.7 如图T2.7所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的 圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。 图 T2.7习题2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重 为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图T2.8)，然后无 初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。习题2.10 如图T2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴 的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体， 绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。 图T2.10图T2.122.2.3 有效质量 离散系统模型约定：系统的质量集中在惯性元件上，弹性 元件无质量。 约定成立的条件：当弹性元件的质量远小于系统总质量时 ，略去弹性元件的质量对系统的振动特性影响不大。当弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它 会使计算得到的固有频率住偏高。如果弹性元件有质量，则它在振动中不但能储存势能 ，也能储存动能。系统的总动能应该是惯性元件储存的动 能加上弹性元件储存的动能。因此，可以采用能量等效的 方法（等效质量法），加大惯性元件的数值，使惯性元件 的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。例2.4 如图26所示系统，在考虑弹簧质量的条件下求系统 的固有频率。通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。注 意它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。同样可以定义等效刚度，它是指在势能意义下的刚度。 图 27