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第六节 用配方法化二次型成标准形一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变问题 有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形?问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法1. 若二次型含有 的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤2. 若二次型中不含有平方项,但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方.解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项,所以再配方,得所用变换矩阵为二、小结将一个二次型化为标准形,可以用正交变换 法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法, 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一 个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就 班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二 次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是,使用不同的方法,所 得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项 数必定相同,项数等于所给二次型的秩思考题思考题解答
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