1安徽省马鞍山市中加学校 2017 届高三第三次模拟数学试卷（理）一一.选择题选择题1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 2. 已知命题 ：，则命题为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 已知复数（ 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 已知双曲线 ：的一个焦点为，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 6. 下列函数中，与函数的定义域.单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. B. C. D. 27. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B. C. D. 8. 设，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A. 最小正周期为 B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称 D. 初相为11. 抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；3反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则直线的斜率为（ ）A.1 B. C. D. 12. 已知的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且，若，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二二.填空题填空题13. 设，则等于_.14. 向如图所示的边长为 的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为_.15. 设满足约束条件，其中目标函数的最大值为 12，则的最小值为_.16. 中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no）.若三棱锥为鳖臑,且平面, 又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为_三三.解答题解答题17. 在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为 ，求 的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微4信运动”，他随机选取了其中的 40 人（男.女各 20 人） ，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附： ，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635（2）若小王以这 40 位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选 2 人，其中每日走路不超过 5000 步的有 人，超过 10000 步的有 人，设，求的分布列及数学期望.19. 如图，三棱柱中，四边形是菱形，,5二面角为 ， .（）求证：平面平面;（）求二面角的余弦值.20. 已知的顶点，点 在 轴上移动， ，且的中点在 轴上.（）求 点的轨迹的方程；（）已知轨迹上的不同两点 ， 与的连线的斜率之和为 2，求证：直线过定点.21. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.6（1）求 的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）写出曲线的直角坐标方程；（）设点 . 分别在.上运动，若的最小值为 1，求 的值.23. 设函数， .（1）当时，求不等式的解集；7（2）若关于 的不等式在 上恒成立，求实数 的最大值.【参考答案】一一.选择题选择题1. 【答案】C8【解析】由题得，集合，所以.集合中元素的个数为 3.故选 C.2. 【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题 ：，则命题为，.本题选择 D 选项.3. 【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：，即复数 在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择 D 选项.4. 【答案】A【解析】由题意得，则，即.所以双曲线 的渐近线方程为，即.故选 A.5. 【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为 S，由题意可得：.本题选择 B 选项.6. 【答案】D【解析】函数为奇函数，且在 R 上单调递减，对于 A，是奇函数，但不在 R 上单调递减；对于 B，是奇函数，但在 R 上单调递增；对于 C，9对于 D，画出函数图象可知函数是奇函数，且在 R 上单调递减，故选 D.7. 【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为 A.故选 A.8. 【答案】A【解析】由题意得，.得，而.所以，即1.又.故.选 A.9. 【答案】B【解析】由框图可知，.故选 B.10. 【答案】C【解析】易求得，其最小正周期为，初相位 ，即 A，D 正确，而.故函数的图象关于直线对称，即 B 项正确，故 C 错误.选 C.11. 【答案】B【解析】令，代入可得，即.由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点，所以.故选 B.12. 【答案】B10【解析】由题意可得：,且，据此可得：，即：，据此有：，当且仅当时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则，综上可得： 的取值范围为.本题选择 B 选项.二二.填空题填空题13.【答案】30【解析】，则，故答案为.14. 【答案】【解析】由题意阴影部分的面积为，所以所求概率为15.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影区域所示，根据图形可知，目标函数在点处取得最大值，即，所以，则，当且仅当，即时等号成立.1116. 【答案】【解析】由题意得,所以由得,因此鳖臑的体积为三三.解答题解答题17. 解：（1）成等差数列，且公差为，又，恒等变形得，解得或，又.（2）在中，.的周长，又，当即时，取得最大值.18.解：（1）积极型懈怠型总计男1462012女81220总计221840，故没有 95%以上的把握认为二者有关；（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过 5000 步的概率为，超过 10000 步的概率为，且当或时，；当或时，；当或时，即的分布列为：. 19. （）证明：在三棱柱中，由得，则， 又是菱形, 得,而,则, 故平面平面. （）解：由题意得为正三角形，取得中点为 D，连 CD,BD,则,又易得,则为二面角的平面角，因, = ,所以,所以13过交点 作,垂足为 ,连则为二面角的平面角， 又 得所以 20. 解：（）设（） ，因为 在 轴上且中点在 轴上，所以，由，得，化简得，所以 点的轨迹的方程为（） （）设直线的方程为，由得，所以，同理，所以，化简得，又因为，所以，所以直线过定点. 21. 解：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点又，即时，时，所以在上单调增，在上单调减，从而.又有且只有一个零点是 1，且在时，在时， 所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，即 （2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，14设，作差得，即.原不等式等价于令，则， 设，函数在上单调递增，即不等式成立，故所证不等式成立.22. 解：（）即，所以 ，将， ， 代入得的直角坐标方程为 ；（）将 化为，所以是圆心为，半径为 2 的圆，将的参数方程化为普通方程为，所以，由此解得或.23. 解：（1） 由得或，解得或，所以不等式的解集为；（2）由绝对值的性质得 ，所以最小值为，从而，解得，因此 的最大值为.15