第二章 波函数 和 Schrodinger 方程l1 波函数的统计解释l2 态叠加原理l3 Schrodinger 方程l4 粒子流密度和粒子数守恒定律l5 定态Schrodinger方程l6 一维无限深势阱l7 线性谐振子1 波函数的统计解释（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质 3个问题？ 描写自由粒子的 平 面 波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。(1) 是怎样描述粒子的状态呢？(2) 如何体现波粒二象性的？(3) 描写的是什么样的波呢？（一）波函数返 回1 （二）波函数 的解释电子源 感 光 屏（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。2. 粒子由波组成l电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连 续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大 小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其 广延不会超过原子大小1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子 也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们 也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。（2）Born 波函数的统计解释 几率波1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源 感 光 屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.l结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一 种统计规律性，波函数 (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的 基本原理。假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 | (r)|2 描述，但意义与经典波不同。| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小 ， 确切的说， | (r)|2 x y z 表示在 r 点处，体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，返 回（3）关于用波函数描述量子状态的讨论l1、与经典力学中质点的状态描述完全不同l经典力学：质点的坐标和动量（或速度）描写质点的状态，l量子力学：不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子 的量子状态，l2、粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相 对强度，而不决定绝对强度大小。（三）波函数的性质在 t 时刻， r 点，d = dx dy dz 体积内，找到由波函 数 (r,t) 描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 称为几率密度。在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d这即是要求描写粒子量子 状态的波函数必须是绝 对值平方可积的函数。若 | (r , t)|2 d , 则 C 0, 这是没有意义的。注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。 （3）归一化波函数这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应 的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无 归一化问题。 (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒 子的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态可见， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l若 (r , t ) 没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数），则有l |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数， 与 (r , t )描写同一几率波， (A)-1/2 称为归一化因子。l注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若 (r , t )是归一化波函数，那末， expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中是实数），与前 者描述同一几率波。返 回2 态叠加原理（一） 态叠加原理（二） 态叠加原理的推广（三） 如何理解经典物理和量子力学的叠加原理(四) 量子物理与经典物理的根本区别返回（一）态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉 和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两 个相加波的干涉的结果产生衍射。l因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中 也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波 函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数， 所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。考虑电子双缝衍射 l= C11 + C22 也是电子的可能状态。l空间找到电子的几率则是：l|2 = |C11+ C22|2 l = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22)l = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*P12 S1S2电子源感 光 屏电子穿过狭缝 出现在点 的几率密度电子穿过狭缝 出现在点 的几率密度相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍 射花纹。一个电子有 1 和 2 两种可能的状 态， 是这两种状 态的叠加。其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态 叠加原理。（二）态叠加原理的推广态叠加原理一般表述：若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分 的处于n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态.例：电子在晶体表面反射后，电子可 能以各种不同的动量 p 运动。具 有确定动量的运动状态用de Broglie 平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp返回（三）如何理解经典物理和量子力学的叠加原 理l统计规律中的几率幅的相加律（而不是几率相加律）l数学形式相同；物理本质不同。l两个经典波叠加新的波具有新的特征l两个量子波叠加不形成新的状态代表什么呢？ 测量结果的不确定性（四）量子物理与经典物理的根本区别l量子物理的基本规律统计规律；经典物理的基本规 律决定论（严格的因果律）l量子物理的统计规律与经典物理的统计规律完全不同 ；量子物理的核心概念几率幅；经典物理的关键概 念几率3 Schrodinger 方程（一）为什么要建立Schrodinger 方程（二）