杨辉三角杨辉三角研究性课题：研究性课题：1 1、介绍杨辉、介绍杨辉古代数学家的杰出代表古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数 学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一 卷，著有卷，著有详解九章算法详解九章算法十二卷（十二卷（12611261年）、年）、日日 用算法用算法二卷、二卷、乘除通变本末乘除通变本末三卷、三卷、田亩比类田亩比类 乘除算法乘除算法二卷、二卷、续古摘奇算法续古摘奇算法二卷其中后三二卷其中后三 种合称种合称杨辉算法杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，朝鲜、日本等国均有译本出版 ，流传世界。，流传世界。“ “杨辉三角杨辉三角” ”出现在杨辉编著的出现在杨辉编著的详解九章算法详解九章算法 一书中，此书还说明表内除一书中，此书还说明表内除“ “一一” ”以外的每一个数都等以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于杨辉指出这个方法出于释锁释锁 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元1111世纪）已世纪）已 经用过它，这表明我国发现这个表不晚于经用过它，这表明我国发现这个表不晚于1111世纪世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家 帕斯卡首先发现的（帕斯卡首先发现的（BlaiseBlaise Pascal, 1623 Pascal, 1623年年16621662年）年）, ,他他 们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的 发现要比欧洲早发现要比欧洲早500500年左右，由此可见我国古代数学的年左右，由此可见我国古代数学的 成就是非常值得中华民族自豪的成就是非常值得中华民族自豪的在详解九章算法中载有一张珍贵的图形 “开方作法本源”图(图2-7)根据杨辉自注， 此图“出释锁算书，贾宪用此术”就是说， 这张图是贾宪(11世纪)创造的，原载于 释锁算书(已失传)中，这张图实际上是 一个二项式展开式的系数表，它包括了0次到 6次二项式的全部系数这些展开式用现代数 学符号表示就是： (a+b)0=1 (a+b)2ab (ab)2=a2+2ab+b2第5行 1 5 5 1第0行1杨辉杨辉三角三角第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 1第n行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34一一. .简介简介: :杨辉三角的基本性质杨辉三角的基本性质 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 r+1个数是 2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 3）杨辉三角具有对称性 4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开 式的二项式系数即证明： 2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，1)当n=1时， 左边a+b,右边a+b所以等式成立利用组合数的重要性质可得 求证：2 2观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律（1 1） 计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：） 计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第第0 0行行 1=11=1第第1 1行 行 1 11 12 2第 第2 2行 行 1 12 21 14 42 22 2第 第3 3行 行 1 13 33 31 18 82 23 3第 第4 4行 行 1 14 46 64 41 116162 24 4第 第5 5行 行 1 15 5101010105 51 132322 25 5 第 第n n行 行 问题问题 前前n n项（含第项（含第0 0行）所有数的和与第行）所有数的和与第n n行所有数的和有何关系？行所有数的和有何关系？结论结论: (1): (1)第第n n行数字的和为行数字的和为2 2 nn(2) (2) 前前n n行行( (含第含第0 0行行) )所有数的和为所有数的和为2 2 nn 11，它恰好比第，它恰好比第n n行的和行的和2 2n n小小1 1 （2 2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。（3 3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434， 此数列此数列aan n 满足满足, a, a1 1=1,a=1,a2 2=1, =1, 且且a an n=a=an-1n-1+a+an-2n-2 (n3)(n3)这就是著名的斐波那契数列 这就是著名的斐波那契数列 介绍斐波那契介绍斐波那契“ “兔子繁殖问题兔子繁殖问题” ”增强趣味性增强趣味性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法算术之法中中 提出了一个饶有趣味的问题：提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434， 让我们慢慢地算一下 一月初 兔子刚出生，但是还没成熟，还不能生小兔子 1对小兔子 二月初 但是还没成熟，还不能生小兔子 1对小兔子 三月初 成熟第一代兔子生了一对小兔子 2对小兔子 四月初 成熟第一代兔子生了一对小兔子 3对小兔子 五月初 成熟第一二代兔子各生了一对小兔子 5对小兔子 六月初 成熟三对兔子各生了一对小兔子 8对小兔子 七月初 成熟五对兔子各生了一对小兔子 13对小兔子 八月初 成熟八对兔子各生了一对小兔子 21对小兔子 九月初 成熟13对兔子各生了一对小兔子 34对小兔子 十月初 成熟21对兔子各生了一对小兔子 55对小兔子 11月初 成熟34对兔子各生了一对小兔子 89对小兔子 12月初 成熟55对兔子各生了一对小兔子 144对小兔子中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作算术之法中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 1. 1. 斐波那契斐波那契“ “兔子繁殖问题兔子繁殖问题” ”: :二二. .引入引入: :在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，2. 2. 杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？“纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 ( 只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？ AB3.3.杨辉三角与杨辉三角与“ “纵横路线图纵横路线图” ”从某种意义上说,发现问题更重要.第5行 1 5 5 1第0行1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 1第n行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34三三. .新课新课: :杨辉三角蕴含的数字排列规律.1.研究斜行规律：第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.111 1 （第1条斜线 ）1410 （第4条斜线 ）136 （第3条斜线 ）123 （第2条斜线 ）(nr)?结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中 ，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和， 等于第m+1条斜线上第n个数。125第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行