4.1 函数函数的价值18 世纪以来，分析学一直占据着数学的核心 地位，是数学的核心学科，从而把函数概念 和方法置于整个数学的中心地位 许多现实问题都可以归因于研究数量的变化 过程，几乎所有领域都有函数应用的实例。 日常生活的语言也引入了函数的许多词汇。 20 世纪以来，世界各国的中学数学内容从以 解方程为中心转到以研究函数为中心函数 的观念已经成为对公民素质的基本要求，成 为人们在现代社会交往中必备的能力初等函数的重要性初等函数的研究是与微积学的研究结合在一 起的。初等函数的使用面相当广泛，在建立描摹大 自然的数学模型时，初等函数能够基本上满 足需要旧函数，新意义对数的发明在于简化计算20世纪中叶以后 ，计算机和计算器的普遍使用使得对数的这 种计算功能几乎完全废弃对数函数的现代意义是：作为一种数学模型 ，对数函数提供了缓增的类型最初引入三角函数是几何学的需要，是为了 处理三角形，其基本思想是使用比例手段定 量地表示三角形边角之间的关系三角函数的重要，在于它的周期性三角函 数提供了周期现象的一种数学模型。三角函数的重要，还在于傅里叶发现：相当 广阔的一类函数(许多实用的周期函数)都可以 展开为三角级数。函数的定义变量说：如果某些变量以如下方式依赖于另一些变 量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称 前一个变量是后一些变量的函数。 (欧拉， 1755)对应(或映射)说：我们假定 Z 是一个变量如果对 它的每一个值，都有未知量 W 的一个值与之对应， 则称 W 是 Z 的函数。 (黎曼，1851 )关系说：若X,Y是两个集合，XY的任何子集 S 称 为 它们之间的一种关系如果关系 F 满足：对于每 一个xX，都存在唯一的一个 y ，使得(x,y)F ， 则称关系 F 是一个函数 (布尔巴基学派，1939 )谁更重要？“变量说”建立在变量的基础上，描述和强调 了函数最重要的特性变化，其优点是形 象、直观、自然，通俗易懂。任何人理解函数，建立函数关系，都是从观 察两个变量之间的依赖关系入手的因此“变 量说”是最朴素、最根本的，对于初学者也最 容易接受。这种描述性的定义没有突出函数的本质 对应关系。“对应说”突出地反映了变量之间的对应关系 ，它能够微观地、明确地指出因变量是如何 随着自变量的变化而变化的。“对应说”抓住了函数的本质。函数的本质是 变量之间的关系，而描述这种关系的正是“对 应”。“对应说”建立在集合论的基础上，更接近现 代数学的语言，普适性强。但它没能对“对应 ”进行严格刻画，对对应关系的界定也不够清 楚。“关系说”没有使用其他未经定义的日常语言，完全 用集合论的语言叙述。它通过外延定义彻底解决了 对应关系的界定问题，是完全数学形式化的表述， 便于更深入地理解函数本质，也便于计算机接受， 广泛用于计算机科学中。但正是由于它过于形式化，抽去了函数关系的生动 直观变量变化及相互依赖关系的特征，看不见 对应关系的形式和规律（解析式），对初学者来说 不易理解和掌握。“关系说”虽不适合放在中学教材中，但中学教师应 该掌握。函数的发展古埃及、古巴比伦、古希腊、古印度、古代中 国的数学中都研究过方程，但是都没有形成函 数的思想。 函数概念的产生是1617世纪由于人们对物体 运动的研究，特别是对天体运动的研究而开始 的。 Galileo（15641642）自由落体运动S=0.5gt2、斜抛 运动轨迹是抛物线 Descartes（15961650）最先提出了“变量”的概念 Newton认识到曲线是记录了点的连续运动 Leibniz最早使用“函数”这个词，他用它表示任何一个 随着曲线上的点的变动而变动的量 李善兰在代微积拾级中译为“函数”函数的三种表示形式函数的表达方法很多，列表法，图像法和解析式法 ，都可以表示函数 数学所要研究的函数，一般是需要解析式的建立 函数模型，主要是找到解析式表示，才能通过论证 和计算解决问题离散的数字表格，可以插值形成 连续函数，图像则可以用解析式逼近或数字近似 但并非所有的函数都能够用算式表示也存在一些 变量之间的变化关系我们可能能够感觉得到，却无 法用简单的数学方法描摹出来如统计报表，股票 走势图等 要寻求算式，但又不限于算式，是掌握函数概念的 一部分函数与曲线、方程函数的图象是曲线，曲线又可以看作是坐标 适合二元方程的点的轨迹，在上述意义下函 数、曲线、方程没有区别。这种统一性是中 学数学的核心思想，这样几何中的形与代数 中的数就统一起来了，初中数学知识与高中 数学知识也统一起来了。中学阶段不必过分强调函数的图象与方程的 曲线之间的差异，而更应该强调统一性。复合函数中的定义域问题门德荣. 关于复合函数的教学. 数学通报,1995 , (9) :12.本题目的实质是“已知fg(x)的定义域求f(x)的定义 域.问题1谁对谁错？类似的病题函数单调性与单调区间单调区间要求极大吗？排他？例 已知函数f(x)=x2-2ax+1的增区间为1,+)，求a的 取值范围解 f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2 +1-a2其增区间为a,+)所以，a=1对吗？为什么要引入单调区间的概念？不过是为了比较函 数值的方便而已。与极大无关，当然单调区间越大 越有利。函数单调性的几个结论约定：两个函数在所讨论的区间里都是递增的（或递减的） ，就称这两个函数依同向变化；若其中一增一减，就称这两 个函数依反向变化则 单调函数f(x)与函数f(x)c(c是常数)依同向变化 单调函数 f(x)与函数cf(x)(c是常数)，当 c 0时，依同向变化；当c 0 时，依反向变化 若两个单调函数 f1(x)与 f2(x)依同向变化，则两函数的和也和它们依同 向变化 若两个正值(或负值)单调函数 f1(x)与f2(x)依同向变化，那么这两函数 的乘积与它们依同向(或反向)变化 单调函数 f(x) 与函数1/f (x)在 f(x)不等于零的同号区间里依反向变化 单调函数f(x)和它的反函数f-1(x)依同向变化 如果单调函数f(x)和单调函数g(x)依同向(或反向)变化，那么复合函数 f(g(x)是单调递增(或递减)的函数奇偶性与定义域的对称性函数奇偶性当前的定义 y=f(x)(xD)是奇函数 如果对于任意xD, 都 有f(x)=-f(-x) y=f(x)(xD)是偶函数 如果对于任意xD, 都 有f(x)=f(-x)定义隐含：关于原点对称函数奇偶性的几个结论两个奇(或偶)函数的代数和仍是奇(或偶)函数 两个奇(或偶)函数的积是偶函数；一个奇函数和一 个偶函数的积是奇函数 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的 数集上，那么这个反函数也是奇函数 奇(或偶)函数的倒数函数(分母不为零)仍为奇(或偶) 函数 设函数y=f(g(x)定义在对称于原点的数集上 若g(x)是奇函数，则当f(x)是奇(或偶)函数时，复合函数 y=f(g(x) 也是奇(或偶)函数； 若g(x)是偶函数，则不论f(x)是奇函数还是偶函数，复 合函数y=f(g(x)都是偶函数函数周期性的几个结论如果T是函数f(x)的周期，那么-T也是f(x)的周 期，而且对于任意的非零整数 k , kT也是函数 f(x)的周期如果函数f(x)具有最小正周期T0, 那么f(x)的任 一正周期T一定是T0的正整数倍周期函数的定义域一定是一个上下无界的无 穷集但并不一定就是 R ，例如函数tanx.并非所有周期函数都有最小正周期，f(x)=c