线性代数下页结束返回第2节 相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页线性代数下页结束返回2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.例如，5 -13 1A0 -24 0B，1 -51 1P，因为1 -51 1 -1 1-5 -11 6- P-1AP5 -13 11 -51 12-2-20-41 6 - 0 12-24 0 -1 60 -24 0，所以AB .相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： A A对称性：若AB，则BA传递性：若AB，BC，则 AC下页线性代数下页结束返回定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1APB，A与B有相同的特征多项式，|lE-B|P-1(lE)P -P-1AP |lE-P-1AP|P-1(lE-A)P| |P-1|lE-A|P| |lE-A|，所以它们有相同的特征值.下页定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为AB.线性代数下页结束返回相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(2)相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵的迹相等；(4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.下页定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.线性代数下页结束返回解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即 解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即|A|=|D|12.下页例1. 若矩阵相似，求x,y.解得例2. 设3阶方阵A相似于,求|A|.线性代数下页结束返回定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.必要性. 设存在可逆矩阵P(x1, x2, , xn)使P-1APL，则有可得 Axi lixi (i1, 2, , n) .因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.l100 0l2000lnA(x1, x2, , xn) (x1, x2, , xn) ，证明：= (l1 x1, l2 x2, , lnxn)2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax1, Ax2, , Axn)线性代数下页结束返回充分性. 设x1，x2，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，ln，则有Axi lixi (i1, 2, , n) .令 P(x1, x2, , xn)，则(l1x1, l2x2, , ln xn)A(x1, x2, , xn)(Ax1, Ax2, , Axn)AP (x1, x2, , xn) l10 0 0l2 000ln PL . 因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得 P-1APL，即矩阵A与对角矩阵L相似.下页线性代数下页结束返回例如，矩阵A 有两个不同的特征值l14,l2-2,1 -51 1其对应特征向量分别为x1 ，x2 . 11 -51取P(x1, x2) ，则1 -51 1所以A与对角矩阵相似. P-1AP-1 1-5 -11 6- 5 -13 11 -51 10 -24 0，问题：若取P(x2, x1)，问L？下页线性代数下页结束返回推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，ln，则 A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似.注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件.且有Ax1-2x1， Ax2x2， Ax3x3，向量组是A的线性无关的特征向量. 所以当P(x1, x2, x3 )时，有例如，A ，x1 ，x2 ，x3 ，4-3-36-6-5010-111-201010P-1AP diag(-2, 1, 1) .下页线性代数下页结束返回A163-3-6-5343(1)解：(1) 矩阵A的特征方程为l-1-6-336l+5-3l-4-3|lE - A|矩阵A的特征值为l1l2-2, l34，对于特征值l34 ，解线性方 程组(4E-A)Xo，得其基础解系x3= .1 1 2对于特征值l1l2-2, 解线性 方程组(-2E-A)Xo，1 1 0-1 0 1得其基础解系x1= , x2= .(l+2)2(l-4)0， (2)-11-4B103020下页例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .线性代数下页结束返回由于A有3个线性无关的特征 向量x1， x， x，所以A相似于对角阵L .所求的相似变换矩阵为P=(x1， x， x) ,101-110121对角阵为L ,-20000-2040满足 P-1 A P L .下页A163-3-6-5343(1)(2)-11-4B103020例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .线性代数下页结束返回l+1-14-10l-30l-20|lE - B|(l-2)(l-1)20， 矩阵B的特征值为l1l21, l32 .对于特征值l1l21, 解线性方 程组(E-B)Xo，得其基础解系x1= ，1 2 -1对于特征值l32，解线性方 程组(2E-B)Xo，得其基础解系x2= .0 0 1显然， B不能相似于对角阵.下页A163-3-6-5343(1)(2)-11-4B103020例3.判断下列矩阵是否相似 于对角阵,若相似求可逆矩阵P， 使P-1 A P L .解：(2) 矩阵B的特征方程为线性代数下页结束返回解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即l1l22, l36 .对于特征值l1l2, 解线性 方程组(2E-A)Xo， -1 1 01 0 1得其基础解系x1= ,x2= .对于特征值l36，解线性方 程组(6E-A)Xo，得其基础解系x3= ，1 -2 3由于A和B相似，且B是一个所以下页例4. 设矩阵A,B相似，其中求x , y的值； 求可逆矩阵P，使P-1AP=B.解得对解阵，可得A的特征值为线性代数下页结束返回解：由所给条件知矩阵A的特征值为l11, l20, l3 -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值的特征向量.容易验证a1, a2, a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，所以A相似于对角阵Ldiag(1, 0, -1).取P(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P L ，所以A = P L P -1 A 5= PL 5P -1 PL P-1=A . 下页例5. 设3阶方阵A满足Aa1a1，Aa2o，Aa3-a3，其中 a1(1,2,2)T, a2(0,-1,1)T, a3(0,0,1)T, 求A和A5.线性代数下页结束返回作业：P127页6结束线性代数下页结束返回推导l100 0l2000ln(x1, x2, , xn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)l100 0l2000ln返回线性代数下页结束返回B = ，求AB. A ， 示例设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38（2）先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求AB. A ， 示例设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38 -7 0 -7（2）先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求AB. A ， 示例设2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0解：2 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB 5-38 -7 0 -7-6-9-32 3 1 -2 3 11 -2 -3 2 -1 0AB2 3 1 -2 3 1122 3 1 -2 3 1-2-12 3 1 -2 3 1-30即（2）先列后行法返回