1动力学 I第一章运动学部分习题参考解答13解：运动方程： ，其中 。tanlykt将运动方程对时间求导并将 代入得034cos22lkllyv938in3llka16证明：质点做曲线运动,所以 ,nta设质点的速度为 ,由图可知:v，所以: ayncosyvn将 ，vy2nv代入上式可得 ca3证毕17证明：因为 ，n2avvasi所以： v3证毕xyoanvyxyoant2110解：设初始时,绳索 AB 的长度为 ,时刻 时的长度Lt为 ,则有关系式：s，并且 tvL022xls将上面两式对时间求导得：，0sx由此解得： （a）sv0(a)式可写成： ，将该式对时间求导得：x0(b)22vsx将(a)式代入(b)式可得： （负号说明滑块 A 的加速度向上）32020xlvvxa取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： gFmN将该式在 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：yx,Nsinco其中： 22i,colxlx 0,320yxlv将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： 2320)(1(xllgmF111解：设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以 ，由于绳子RvB始终处于拉直状态，因此绳子上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等，即：AxO AvAxOBvBRovovFNgmy3（a）cosABv因为（b）xR2s将上式代入（a）式得到 A 点速度的大小为：（c）2xv由于 ， （c）式可写成： ，将该式两边平方可得：xvAR22)(xx将上式两边对时间求导可得： 232)(将上式消去 后，可求得：x2(d)24)(Rx由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 24)(RxaA取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： gFamN将该式在 轴上投影可得直角坐标形式的yx,运动微分方程： gFNsinco其中：, xRxR2cos,sin 0,)(24yRx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 2525 )(,)(4xmgFxmFNxAvAO NFBR gmy4113解：动点：套筒 A；动系：OA 杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理 reav有： ，因为 AB 杆平动，所以 ，ecosva由此可得 ，OC 杆的角速度为 ， ，所以evOAecosllv2cos当 时，OC 杆上 C 点速度的大小为045 lalavvC24502115解：动点：销子 M动系 1：圆盘动系 2：OA 杆动系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有， r1ea1vr2ea2v由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 ，由上两式可得：1(a)r1evr2e将（a）式在向在 x 轴投影,可得： 0r20e20e1 3cossin3sinv由此解得： smbOMvv /.)9(30cosi)(ta)(30tan 2120e12r2 avere1v2r2vrx532.0e2OMvsmv/59.rea117解：动点：圆盘上的 C 点；动系：OA 杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于 O1A 杆） ；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有（a ）reavv将（a）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影以及在 O1C 轴上投影得：，0e03cos3cos 0e0a3sin3sinvv， ，Rvae Rra 5.21RA根据加速度合成定理有（b）Crneta将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得 a0ne0te0a 3sico3sin其中： ， ，2R21ar1vC由上式解得： 2te13119解：由于 ABM 弯杆平移，所以有 MAAav.,取：动点：套筒 M；动系：OC 摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。averatenerCaver6根据速度合成定理 reavv可求得： ， ，m/s22bvAM m/s2erbvrad/s345.11O根据加速度合成定理Caarnetnat将上式沿 方向投影可得：CCate0na0ta45si45cos由于 ， ， ，根据上式可得：221nm/8l2t/s1b2rm/s8v，0ta45cos7 2ta1 ad/3)47(l1-20 解：取小环为动点，OAB 杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中： rOMv260cose根据速度合成定理： reav可以得到： ，rv3260cosint2ea rv460coser加速度如图所示，其中：，2022ecsrOM2r8vaC根据加速度合成定理：Caaretanatanear CavMOABrexCaaMO ABre7将上式在 轴上投影，可得： ,由此求得：x Caacosse 2a14r121解：求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车A 为参考系观察汽车 B 的速度。取：动点：汽车 B；动系：汽车 A（Oxy） ；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车 A 绕 O 做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理 reavv将上式沿绝对速度方向投影可得： rea因此 arv其中： ，ABBRv,ea由此可得： m/s9380rBAvR求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有： 22rnr /s78.1BRva1-23 质量为 销钉 M 由水平槽带动，使其在半径为 的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速mr向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉 M 上的约束力。vOxy evavrOxy nraMrO vgmOFMrO vgm8解：销钉 M 上作用有水平槽的约束力 和圆槽的约束力 （如图所示） 。由于销钉 M 的运FOF动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有 reav由此可求出： 。再根据加速度合成定理有：coseavv rea由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以 ，并且上式可写成：0ernat因为 ，所以根据上式可求出 。22ancosrv 32nat cosirv根据矢量形式的质点运动微分方程有： gFammO)(nt将该式分别在 轴上投影： x cosssiata由此求出： )1(tnco2rvFO1-24 图示所示吊车下挂一重物 M，绳索长为 ，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以l均加速度 沿水平滑道平移。试求重物 M 相对吊车的速度与摆角 的关系式。a 解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物 M 为动点。根据质点相对运raevarMrO nMO tM teagmF9动微分方程有 erFgam将上式在切向量方向投影有 cossinetl因为 ，所以上式可写成,emaFddtt cossinmagl整理上式可得 dssidl将上式积分： caglinco2其中 为积分常数（由初始条件确定） ，因为相对速度 ，上式可写成c lvrcaglvsinco2r初始时 ，系统静止， ，根据速度合成定理可知 ，由此确定 。00ea 0rvgc重物相对速度与摆角的关系式为： sin)1(cos2r aglv1-26 水平板以匀角速度 绕铅垂轴 O 转动，小球 M 可在板内一光滑槽中运动（如图 7-8） ，初始时小球相对静止且到转轴 O 的距离为 ，求小球到转轴的距离为 时的相对速ROR度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出） 。根据质点相对运动微分方程有： CmFaerRRoOCFeRRoF rvO10将上式在 上投影有 rv cosdertrFvma因为 ， ， ，所以上式可写成2emRFtRvtdrrrcscos2rRv整理该式可得 ，将该式积分有2rv r1初始时 , ,由此确定积分常数 ，因此得到相对速度为OR0r 2OcrRv1-27 重为 P 的小环 M 套在弯成 形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴 以匀角速度2cxyx转动，如图所示。试求小环 M 的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为 ，因为金属丝为曲0ra线，所以 ，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其0rv中 分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：PF,e 0ePF其中： ，将上式分别在 轴上投影有2eygyx,（a）0cosineFP以为 ， , ,因此xydtan22dxy（b）2tanc由（a）式可得xyM xyMFeP11（c）etanFP将 代入（c） ，联立求解（b） 、 （c）并利用 ，可得：2eygPF 2cxy3123124,ggx再由方程（a）中的第一式可得 342441sin gcPcxcxPF