论狭义相对论的对偶第 1 页万有引力与狭义相对论的“开普勒爱因斯坦”对偶张轩中 李成翊爱因斯坦学校，北京理工大学摘要：首先简要介绍了洛伦兹变换，其次基于洛伦兹变换和狭义相对论的基本原理等探讨了时间延缓效应。进而给出一种通过时空图“物理相似三角形”方法推出钟慢效应公式的简便方法（此方法在日出：量子力学与相对论一书的附录中有介绍） ，最后讨论了该方法与开普勒行星运动定律的关系，并建立了狭义相对论与开普勒定律在数学结构上的联系：它们在数学结构上都是一个椭圆。关键词：狭义相对论 开普勒定律 对偶 洛伦兹变换ABSTRACT Firstly, a brief introduction of the Lorentz transformation. Based on the Lorentz transformation and the basic principle of special relativity, discusses the dilatation effect. Then presents a simple method to get the formula of dilation effect, finally discuss the relationship between special relativity and Keplers laws of planetary motion on the mathematical structure.KEY WORDS Special Relativity ；Keplers laws ；Duality ；Lorentz transformation 引言：狭义相对论由 A.Einstein 于 1905 年提出，并由于具有较多实验的支持，被普遍接受。尺缩钟慢效应是狭义相对论的重要效应，也是洛伦兹变换蕴含的时空观。有许多实验能检验相对论尺缩钟慢效应 1 。在 1941 年 B.Rossi 和 D.B.Hall，后于 1963 年 D.H.Frisch 和J.H.Smith 均曾用研究 子的寿命随动量的变化和用实验检验运动的钟变慢 2 。后在 1971年 J.C.Hafele 与 R.E.keating 完成了用铯钟检验动钟变慢的实验 3 。对狭义相对论的理论研究也逐渐深入，本文将给出一种采用时空图推导钟慢效应公式的方法，并探讨其数学形式上与开普勒行星运动定律的对偶性。1. 洛伦兹变换在经典力学中，从一个惯性系到另一个惯性系的变换公式，由伽利略变换给出。当某一事件在 系内的坐标 为已知时，就可以找到同一事件在另一惯性系 内的坐标 。 , ,假设 系相对于 系的相对运动的速度为 ，则有， =+， =， =， =(1)论狭义相对论的对偶第 2 页但是这个变换式不能满足相对论的要求，不能使事件与事件之间的间隔不变。我们从事件之间的间隔不变的要求出发，推出相对论的变换公式。这个变换必须使差值 ,即点()22到原点间隔保持不变。新旧坐标的关系最一般地由以下二式决定：(,)=+,=+,(2)式中 为坐标系的转动角，该式与坐标轴转动变换的通常公式不同在于，后者中的三角函数换成了双曲函数，这就是伪欧几何与欧氏几何的差别。转动角只由惯性系的相对速度 决定。研究参考系 的原点在 内的运动，这时 , 而上述公式可写成 =0=,=,相除可得=但 显然是 对 的速度 ，因此， =由此得=122, = 1122代入 式，得；(2)=+122, =, =, =+2122(3)这就是所要求的变换公式，称为洛伦兹变换 4 。式 可用矩阵表为 5(3)论狭义相对论的对偶第 3 页()=(00 0000 00 10 01)()2. Einstein 延缓效应2.1 用洛伦兹变换研究 Einstein 延缓效应的经典方法由洛伦兹变换，可以得到有关固有时与运动时的关系。假设在 系内有一只静止的钟，我们假定有两个事件发生在 系内同一空间点 , 在 系内这两个事件之间的时间为 , , 在 系内，同样的两事件之间的时间 , 由 得=21 (3)1=1+2122，2=2+2122相减则得21= 122(4)即当静止的钟所行走的时间为 时，得到运动的钟所指示的时间间隔 6 。212.2 一种具有启发性的新方法将要给出的新方法基于时空图，并采用初等数学的工具。我们给出如下假设，一艘飞船在 时刻从地球表面起飞，飞船上携带的钟在起飞时刻与地面上的钟校准并都处于零时=0刻。假定之后飞船以速度 匀速飞行一段时间。地面于 时向飞船发出返航指令，飞船上的 1钟读数为 时收到该光信号，并立即向地面发出反馈信号，地面接收到飞船发出的光信号的0时刻为 ，并设在飞船收到信号的时刻，地面上的钟的读数为 。采用经典方法，考虑时空2 0间隔 ,可得222+2(0)2=(0)2+(0)2由此得论狭义相对论的对偶第 4 页0= 0122(5)即得 和 的关系式。0 0下面，采用一种新方法研究该问题，可用时空图（以地面为参考系）表示这一过程，如下图中 和 是光信号的世界线， 是飞船的世界线，其长度即为飞船的固有时。10 02 0图中 和 是时空上的“相似三角形” ，或者称作物理上的“相似三角形” ，这种10 02相似并不是欧氏几何上的相似，而是时空几何上的相似性。基于狭义相对论的两个基本假设，即光速不变原理和狭义相对性原理，地面发出光速传播的返航信号，与飞船发出同样以光速传播的反馈信号这两个事件具有物理上的等价性。不同惯性系之间是平等的，以地面为惯性参照系和以飞船为惯性参照系描述物理规律，将具有相同的形式，在本质上没有区别。因此可以得到在时空图中的物理相似三角形 7 ，由此得|1|0|=|0|2|因此论狭义相对论的对偶第 5 页10=02即02=12(6)由图可以得到关系 ，即20=010=1+22 (7)由式 得(4)0=12(8)由基本不等式可得式 和式 的关系为(7) (8)00即得固有时最短这一重要结论。下面便可得到 Einstein 延缓效应公式，设飞船与地面在 时0刻的空间距离为 ，则该空间距离可由以下三式表出=0, =(01), =(20)消去 ，得0(1)=1, 0(1+)=2相乘可得02(122)=12(9)联立式 与式 ，得(6) (9)02(122)= 02即0= 0122(10)论狭义相对论的对偶第 6 页这就是表达钟慢效应的公式，与上面推得的式 与式 一致，可以看出时间膨胀这一相对(4) (5)论效应。这种新方法的意义在于运用较为简单的初等数学工具，以及较为清晰的时空图来研究钟慢效应，并引入物理相似三角形的概念，从本质上理解狭义相对论的两个基本假设。3. Einstein-Kepler 对偶在上面的这种新的推导方法中，我们可以发现 Einstein 延缓效应与开普勒定律在数学形式上具有相似性，这一点我们稍后说明。首先看到，开普勒第一定律表述为，每一个行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳处在椭圆的一个焦点上。其数学表达为，轨道的极坐标方程为1=22 (1+)其中，离心率 且 ， 是常数， 是行星相对于太阳的位置矢量， 是行=22 01 星质量， 是太阳质量， 是行星的角动量， 是万有引力恒量。 开普勒第二定律表述为，相等时间内，太阳与运动行星连线扫过的面积相等。其数学表达为， 行星与太阳连线扫过区域速度为=20其中， 是常数，即行星绕太阳公转的角动量守恒。0开普勒第三定律表述为，各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道半长轴的立方成正比。其数学表达式为32=42其中， 是行星公转轨道半长轴， 是行星公转周期， 是常数。 由开普勒定律，可以看到，关于行星环绕太阳的轨道，如下图 论狭义相对论的对偶第 7 页其中椭圆轨道的半长轴为 ，半短轴为 ，近拱距为 ，远拱距为 ，它们之间存在如下关系 =+2 (11)=(12)由椭圆性质，可得= 12(13)其中， 为离心率。其实，很容易可以得到=( ( )2+22) 2=( +( )2+22) 2代入式 和 ，得(11)(12)=2, = 2其中， 为轨道总能量。那么现在，我们对比式 和式 ，可以看到，它们具有相同的数学结构，(7)(8)(11)(12)和 分别是是 的算数平均值和几何平均值，而 和 分别是 的算数平均值和几0 0 1、 2 、 何平均值，因此，我们可以得到下图论狭义相对论的对偶第 8 页结合式 和式 ，可以看出，狭义相对论中的 Einstein 延缓效应在数学结构上是一个半(10)(13)长轴为 ，半短轴为 ，且离心率为 的椭圆。这和开普勒定律在一0 0 = (, 01)定程度上具有对偶性，并称之为 Einstein-Kepler 对偶（又称张轩中对偶） ，这一结论具有启发性。参考文献：1张元仲. 狭义相对论实验基础M. 北京：科学出版社，1979. 61.2Wallace P R. Physics: Imagination and RealityM . Singapore：World Scientific，1991：83.3Hafele. Relativistic Time for Terrestrial CircumnavigationsJ. American J. of Physics，1972，40：81.4朗道，E.M.栗弗席兹. 理论物理学教程，场论M. 北京：高等教育出版社，2012. 8-12.5梁灿彬，周彬. 微分几何入门与广义相对论，中册M. 北京：科学出版社，2009. 306.6朗道，E.M.栗弗席兹. 理论物理学教程，场论M. 北京：高等教育出版社，2012. 1