线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法l在线性多自由度系统振动中，振动问题归 结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问 题缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大l本章介绍几种近似计算方法，可作为实用 的工程计算方法对系统的振动特性作近似 计算邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法线性振动的近似计算方法/邓克利法l邓克利法由邓克利(Dunkerley)在实验确定多圆盘 横向振动固有频率时提出的便于作为系统基频的计算公式线性振动的近似计算方法/邓克利法自由振动作用力方程：左乘柔度矩阵位移方程：定义D=FM 为系统的动力矩阵作用力方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：线性振动的近似计算方法/邓克利法作用力方程的特征值问题： 位移方程的特征值问题：D=FM特征值： 关系： 位移方程的最大特征根：位移方程的特征方程：展开：其中：对应着系统的第一阶固有频率 (基频)线性振动的近似计算方法/邓克利法位移方程的特征方程： 其中：D=FM当M 为对角阵时：特征方程又可写为：有：柔度系数 的物理意义：沿第i 个坐标施加单位力 时所产生的第i 个坐标的位移线性振动的近似计算方法/邓克利法如果只保留第i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：例如：两自由度系统柔度矩阵：（1）只保留m1 时（2）只保留m2 时如果只保留第i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：线性振动的近似计算方法/邓克利法将 代入：对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远 大于基频，因此左端可只保留基频项，有：得到的基频是精确值的下限邓克利法线性振动的近似计算方法/邓克利法线性振动的近似计算方法/邓克利法例：三自由度系统线性振动的近似计算方法/瑞利法l瑞利法基于能量原理的一种近似方法 可用于计算系统的基频算出的近似值为 实际基频的上限 配合邓克利法算出的基频下限，可以估 计实际基频的大致范围n 自由度保守系统：机械能守恒 主振动：动能与势能：最大值：瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法线性振动的近似计算方法/瑞利法对于第i 阶模态：瑞利商当 为一般向量时（不是实际模态），总能展开为n 个正则模态的线性组合：代入瑞利商：可以证明， 和 分别为瑞利商的极小值和极大值即：线性振动的近似计算方法/瑞利法分析： 若将瑞利商右端分子内的所有 换成 由于 是最低阶固有频率，因此 ： 由瑞利商公式知，当 确为第一阶模态时，有因此，瑞利商的极小值为同理可证明，瑞利商的极大值为线性振动的近似计算方法/瑞利法如果 接近第k 阶真实模态 比起 ，其它系数很小代入，得：因此，若 与 的差异为一阶小量，则瑞利商与 的 差别为二阶小量 对于基频的特殊情况，令k1，则由于瑞利商在基频处取极小值 利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基 频的上限， 愈接近系统的真实模态，算出的固有 频率愈准确线性振动的近似计算方法/瑞利法用动力矩阵表示的瑞利法 由又则且用动力矩阵表示的瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法线性振动的近似计算方法/瑞利法当 为一般向量时（不是实际模态），总能展开为n 个正则模态的线性组合：代入瑞利商：即：可以证明， 和 分别为瑞利商的极小值和极大值线性振动的近似计算方法/瑞利法如果 接近第k 阶真实模态 比起 ，其它系数很小代入，得：线性振动的近似计算方法/瑞利法例：三自由度系统l里兹法里兹法是瑞利法的改进用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算 出系统的前几阶频率和模态瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对 第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总 是精确值的上限里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而 使算出的基频值进一步下降线性振动的近似计算方法/里兹法线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个 假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：代入瑞利商：假设模态由于 在系统中的真实主振型处取驻值，所以A 的各个元素应当从下式确定：线性振动的近似计算方法/里兹法代入：瑞利商：其中 是r 阶单位矩阵的第j 列上面r 个方程可合成为：表示将函数分别对A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量同理，有：则有线性振动的近似计算方法/里兹法由于 ， 的阶数r 一般远小于系统自由度数n，上式所示的矩阵特 征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法就是自由度缩减为r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵可求出r 个特征根及相应的特征向量 原来系统的前r 阶固有频率可近似取为：相应的前r 阶主振型近似取为：线性振动的近似计算方法/里兹法正交 性分析：时：成立同理，有故，近似主振型式关于矩阵 和 相互正交：线性振动的近似计算方法/里兹法例：三自由度系统线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法l矩阵迭代法也是从动力矩阵表示的本征值问题出发的 近似计算方法适合于计算系统的最低几阶模态和固有频 率线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法系统的任意阶固有频率 及相应的模态 必须满足假设模态 （不是真实模态），总能表示为真实模态的线 性组合左乘 得：再左乘 得：如此迭代k次后，得由于每迭代一次，方括号内的第一项的优势就增强一次线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法将 作为一阶模态的k次近似，记作 ，矩阵迭代法的 公式为：当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态 成分小于容许误差，即可将其略去，得到则k次迭代后的模态近似等于第一阶真实模态，对 再做 一次迭代 线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法高阶模态与固有频率左乘减去第一阶模态成分 并代入D改为D1连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 集中质量法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的振动/ 假设模态法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法l传递矩阵法传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和 主振型（多个圆盘的扭振，连续梁，汽轮机和发电机 的转轴系统）特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横 向振动特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的 传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此 传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元 的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量 （1）轴盘扭转振动系统（2）梁的横向弯曲振动系统（1）轴盘扭转振动系统n-1个圆盘 轴不计质量，只计刚度 第i-1 个和第i 个圆盘以及连接两盘的轴段构成第i 个单元 将圆盘和轴自左至右编号 Ji-1、Ji：第i-1 个圆盘和第i 个圆盘的转动惯量 li：第i 个单元轴段的长度 ki：第i 个单元轴段的扭转刚度连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的近似计算方法/传递矩阵法连续系统的振动/ 有限元法 有限元法 20世纪五六十年代发展起来的方法 吸取了集中质量法与假设模态法的优点将复杂结构分割成有限个 单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将 单元的质量和刚度集中到节点上每个单元作为弹性体，单元内 各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）由 于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取 得十分简单，并且可令各个单元的模态相同 有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法以杆的纵向振动和梁的弯曲振动为例进行介绍连续系统的振动/ 有限元法杆的纵向振动 连续系统的振动/ 有限元法 单元质量矩阵和刚度矩阵的求解 将杆划分为多个单元取出其中一个单元进行分 析，单元长l，两端节点位移u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：单元假设模态（形函数）取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变 形函数例如连续系统的振动/ 有限元法x 位置截面的位移：代入，得：单元动能单元质量矩阵连续系统的振动/ 有限元法单元势能单元刚度矩阵连续系统的振动/ 有限元法全系统的动力学方程 以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构 以一个例子进行说明 杆划分为三个单元连续系统的振动/ 有限元法连续系统的振动/ 有限元法