数学建模-微分方程模型烟台大学文经学院 科研与素质教育部对数学建模课程，不要期望太高EverythingNothingSomething A taste of modeling 主要内容三、微分方程建模的实例二、微分方程建模的方法一、引言一引言从数模看创造性 创造性可以分为两种，一种是原创性成 果、重大发明中所包含的创造性，这些创 造不是一朝一夕就可以实现的，都需要经 过长时间的积累，甚至几代人的努力，所 谓“十年磨一剑”就说明这个道理。这种创造性需要经过漫长的科学攀登 ，在攻克一系列理论或实际的难题后才能 获得，如载人宇宙飞船的研制和发射， 哥德巴赫猜想的证明等。 另外一种创造性可以粗略地定义为： “一听就能够明白，不听就是想不到，采 用后作用重大”。 例如获得诺贝尔经济奖 的投入产出理论，虽然在经济界产生重大 的影响，但从代数理论上看并不高深，只 是将众多原材料和产品之间的数量关系线 性化，并用矩阵来表达，然后根据矩阵有 关理论得出经济方面的许多重要结论。 两种创造性之间的联系虽然上述两种创造性相互之间存在明 显的差别，但它们之间的联系却是相当紧 密的。实际上，第一种创造性的基础就是 第二种创造性，第二种创造性经过长期积 累可能升华为第一种创造性；反过来，第 一种创造性中蕴涵了大量的第二种创造性 ，第一种创造性的产生也会大大刺激第二 种创造性的涌现。数学建模活动的任务:培养创造性第二种创造性因为不需要当事人有特别高 深的理论和复杂的知识背景，限制比较少，适 用的范围比较大，一旦培养出这类创造性，人 们的能力就可能大幅提升，工作效率就会有惊 人的提高，所以这也是高校教学改革必须追求 的目标。也是数学建模活动力目的所在。中国大学生数学建模竞赛（CUMCM） 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月) 2009年33省/市/区(含港澳)的1137所学校15042队参加 赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”（ 2001年起刊登于当年“工程数学学报”） 网址：http:/mcm.edu.cn 奖励：证书 （“一次参赛，终身受益”） 等级：全国一等2%、二等 6%；赛区奖1/3 非数学专业学生约90%（其中约10%来自非理工类专业 ）简介竞赛内容与形式 内容 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求 解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛 可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）宗旨创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性。近年部分竞赛题目04年：奥运会临时超市网点设计，电力市场的输电阻 塞管理，饮酒驾车，公务员招聘； 05年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁；雨量 预报方法的评价， DVD在线租赁； 06年：出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预 测，易拉罐形状和尺寸的最优设计，煤矿瓦斯和煤尘 的监测与控制； 07年：中国人口增长预测，乘公交看奥运，手机套餐 优惠几何，体能测试时间安排；08年：数码相机定位，高校教育学费标准探讨，地面 搜索，NBA赛程的分析与评价；09年：制动器试验台的控制方法分析，眼科病床的合 理安排，卫星和飞船的跟踪测控，会议筹备；10年：储油罐的变位识别与罐容表标定，上海世博会 影响力定量评估，输油管的布置，学生宿舍设计方案 评价 ；11年：城市表层土壤重金属污染分析 ，交巡警服务 平台的设置与调度，企业退休职工养老金制度的改革 ，天然肠衣搭配问题； 题目的特点题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背 景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干 课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本 方法；专科题目力求少用大学数学内容解题所用的数学方法尽量多元化、综合化可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献兼顾数据的处理与数据的收集基础性实践性综合性开放性挑战性二、数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳) (演绎)数学建模的全过程现实世界数学世界微分方程建模是一种重要的数学建模方法，在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。尤其是在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。 微分方程建模的方法1. 根据已知规律直接列出方程 根据数学、物理、力学、化学、生物学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫 电流及电压定律，放射性物质的放射性规律等等， 这些都涉及到函数的变化率问题，因此可根据相应 的规律直接列出微分方程。利用微分方程建模常见的方法有 ：2. 微元分析法在数学、力学、物理学等许多教科书中常会见到用微元分析法建立微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理去寻求某些微元增量之间的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式变化率（微商）=单位增加量-单位减少量然后再将其简化为微分方程。3.模拟近似法在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实践中，对一些现象的规律性目前还不是很清楚， 了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可 根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去模拟 实际现象对如此所得到的微分方程进行数学上求 解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察 分析这个模型与实际现象的差异性，看能否在一定 程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释。将形形色色的实际问题转化成微分方程的定解问题，大体上可按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；2. 找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；3. 运用这些规律列出方程和定解条件(初边值条件)；下面将通过实例来说明微分方程建模的一般方法。4. 求解或者讨论方程(数值解或定性理论)，从而得到我们要求的结果；5. 对模型和结果进行讨论与分析。当你坐在电视机前观看球赛精彩的比赛实况时，你可曾想到是通过什么手段把画面瞬间从比赛 现场传到世界各地呢？是通讯卫星。卫星靠什么送入太空轨道的呢？靠的是三级火箭。那么为什么要用三级火箭，而不用一级、二级或四级火箭呢？火箭是一个非常复杂的系统，它必须具有高效能的发动机，牢固的结构，低的空气阻力等等 。对火箭发动机的主要要求是必须具有强大的推力使火箭加速到足够大的速度。因为如果火箭最末一级燃料用完时速度太低的话，卫星就会从空中掉回地面。下面通过运载火箭的数学模型来论证三级火箭的设计是最优的。下面从卫星的速度因素着手，看看为了使卫星在预定的轨道上围绕地球飞行，火箭的最终速度应该是多少？一、火箭速度把问题理想化：假设地球为密度均匀分布的球体，卫星以地球引力作为向心力绕地球作平面 圆周运动，如图1.1所示。设设地球半径为为R，地球中心为为O，曲线线C为为 地球表面，曲线 为卫星轨道， 的半 径为r，卫星质量为m。K为为常系数。假设地球为密度均匀分布的球体，则可把地球的质量看成集中在球心。由牛顿第二定律，地球对卫星的引力为(1.1)为定出常数K，把卫星放在地球表面。则由(1.1)式得(1.3)(1.2)其中g为地球表面的重力加速度。将(1.2)式代入(1.1)式得地球对卫星的引力卫星以地球引力作为向心力绕地球作圆周运动，其向心加速度为向心力为得(1.4)取所以(1.5)即是要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度至少要7.6km/s。当卫卫星离地面高度为为600km，则则应应注意到，在把问题问题 理想化时时，所作假设设与实际实际 有较较大差别别，但这这并不会影响所计计算的结结果，因为为并不是要精确计计算卫卫星的速度是多少，而是要推出火箭的末速度至少要多少？下面的工作就是计算火箭的速度，看它的末速度能否达到7.6km/s。 二、火箭速度的计算 要计算火箭的速度，必须懂得火箭的基本结构和工作的基本原理。火箭的简单模型是由一台火箭发动机和一个燃料仓组成，燃料在发动机中燃烧，产生大量的气体从火箭的末端喷出。这种向后喷出的气体产生一个使火箭向前运动的推力。为了在一定的时间内使火箭的最后速度达到7.6km/s，那末推动火箭向前的力应该是多少？这个力又依赖哪些因素呢？火箭飞行时要受到重力和空气阻力的影响，由于地球的公转和自转，火箭升空后作曲线运动。这样考虑问题就复杂了，这里仍然把问题理想化。 假设火箭在喷气推进下作直线运动，不考虑重力和空气阻力的影响。 时刻火箭质量为设 t 时刻火箭质量为 m(t) , 速度为 v(t)，(1.6)由Taylor展开式，在t 这段时间内火箭质量减少这这个减少的质质量实际实际 上是火箭燃料燃烧喷烧喷 出的气体的质质量。设喷设喷 出的气体相对对于火箭运动动的速度为为u（u为为常数），则则气体相对对于地球运动动的速度为为即t时时刻火箭动动量等于时时刻火箭动动量加 上时时刻转换转换 到气体上去的动量。如图1.2所示。 由动量守恒定律，有(1.7)，并令对(1.7)式两端同除以取极限得(1.8)这是一个具有指导意义的式子。(1.8)式左端表示火箭所受的推力T。令得即是说说，推力等于燃料消耗的速度与气体相对对于火箭运动动速度的乘积积。 将(1.8)式改写为为u为为常数，积积分上式得是火箭初始质质量，(1.9)是 t = 0 时的速度，(1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素：（1）喷喷出的气体相对对于火箭的速度 u（已假定为为常数）；（2）t 时时刻火箭质质量 m(t) 和 t=0 时时刻火箭质质量 m0 之比。这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正确的方向：（1）尽量提高火箭燃烧时产生的气体喷出 的速度 u，这从燃料上想办法（如制造液体燃料、固体燃料、改变燃料构成成分等）。（2）尽量减少在 t 时时刻火箭的质质量 m(t)，以增大采用以上两种方法可提高火箭的速度，为为此有必要计计算火箭在飞飞行过过程中质质量的变变化。 的比值，从结构上想办法。三、火箭系统质统质 量的计计算火箭系统质统质 量由下列部分组组成：（2）燃料质质量（3）结结构质质量首先考虑简单虑简单 情形：设设所有燃料全部耗尽，只剩下净载质净载质 量和结结构质质量然后净净燃料仓仓和发动发动 机丢丢弃，只剩下净载净载 体。 （1）净载质量 （如卫星等）；（发动机和燃料仓质量）。由(1.9)式净载净载 体将以速度运动动。(1.10)在 中应占有一定的比例，在现有技术条件下，要 使燃料仓与发动机的质量和小于所载燃料的1/8和1/10是很难做到的。设(为常数)一般来说，结构质量即结结构质质量为为燃料与结结构质质量和的倍，代入(1.10)式，得对对于给给定的u值值，当净载质净载质 量由此可以得出一个重要的结果：时（即火箭不携带任何东西），火箭所能达到的最大速度为(1.11)(1.12)已知 u=3km/s，如果取=0.1，则上式中前面(1.5)式推出卫卫星要进进入圆圆形轨轨道，火箭末速度为为7.6km/s，而刚刚才推导导的火箭速度是在假定忽略空气阻力、重力、不携带带任何东东西的情况下，最大速度才7km/s。由此得出，单级单级 火箭是不能用于发发射卫卫星的。 v 7km/s由以上分析还还可以发现发现 ，该该火箭模型的缺点在于发动发动 机必须须把整个沉重的火箭加速到底，但是当燃料耗尽时时，发动发动 机加速的仅仅仅仅 是一个空的燃料仓仓，作了许许多无用功。因此，有