机器视觉及应用机器视觉及应用李东李东 lidongszu.edu.cnlidongszu.edu.cn深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所2/主要内容主要内容2.1 2.1 空间几何变换空间几何变换2.2 2.2 几何变换的不变量几何变换的不变量2.3 2.3 欧式空间的刚体变换欧式空间的刚体变换深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所3/摄像机成像的几何 变换？2.1 2.1 空间几何变换空间几何变换深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所4/Figures Stephen E. Palmer, 2002Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D)Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D)3D world2D image深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所5/深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所6/深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所7/Projection can be trickyProjection can be trickySlide source: Seitz深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所8/Projection can be trickyProjection can be trickySlide source: Seitz深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所9/成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry）What is lost?What is lost?LengthLengthWhich is closer?Who is taller?深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所10/成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry）空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所11/Projective GeometryProjective GeometryWhat is lost?What is lost?LengthLengthAnglesAnglesPerpendicular?Parallel?深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所12/Projective GeometryProjective GeometryWhat is preserved?What is preserved?Straight lines are still straightStraight lines are still straight深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所13/成像几何（成像几何（Projective GeometryProjective Geometry）消失消失点点/ /无穷远点（无穷远点（Vanishing PointVanishing Point）深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所14/成像特点（成像特点（Properties of Projection Properties of Projection ）点（点（pointspoints）投影后为点；）投影后为点；线（线（lineslines）投影后为线；）投影后为线；平面（平面（planes or polygon planes or polygon ）投影后为平面（可）投影后为平面（可 能不是整个平面）。能不是整个平面）。特殊情况：特殊情况：经过光心的线投影后退变为点；经过光心的线投影后退变为点；经过光心的平面投影后退变为线。经过光心的平面投影后退变为线。深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所15/无穷远元素无穷远元素平行线交于一个无穷远点平行线交于一个无穷远点; ;平行平面交于一条无穷远直线平行平面交于一条无穷远直线; ;无穷远点无穷远无穷远深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所16/在一个平面上在一个平面上, , 所有的无穷远点组成一条直线所有的无穷远点组成一条直线, , 称为这个平面的无穷远直线称为这个平面的无穷远直线. .平行线无穷远直线无穷远元素无穷远元素深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所17/3 3维空间中所有的无穷远点组成一个平面维空间中所有的无穷远点组成一个平面, , 称为称为 这个空间的无穷远平面这个空间的无穷远平面. .无穷远元素无穷远元素无穷远平面平行线平 行 平 面 和 直 线深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所18/Vanishing points and linesVanishing points and lines深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所19/Vanishing points and linesVanishing points and linesVanishingpointVanishinglineVanishingpointVertical vanishingpoint (at infinity)Slide from Efros, Photo from Criminisi深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所20/Vanishing points and linesVanishing points and linesPhoto from online Tate collection深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所21/Note on estimating vanishing pointsNote on estimating vanishing points深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所22/射影空间射影空间对对 n n 维欧氏空间加入无穷远元素维欧氏空间加入无穷远元素, , 并对有限元并对有限元 素和无穷远元素不加区分素和无穷远元素不加区分, , 则它们共同构成则它们共同构成 了了 n n维射影空间维射影空间. . 1 1维射影空间是一条射影直线维射影空间是一条射影直线, , 它由我们所看到它由我们所看到 的欧氏直线和它的无穷点组成的欧氏直线和它的无穷点组成; ; 2 2维射影空间是一个射影平面维射影空间是一个射影平面, , 它由我们所看到它由我们所看到的欧氏平面和它的无穷远直线组成的欧氏平面和它的无穷远直线组成; ; 3 3维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组成成. .深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所23/在在 n n维空间中维空间中, , 建立欧氏坐标后建立欧氏坐标后, , 每一个有限每一个有限 的点的坐标为的点的坐标为 , , 对任意对任意 n n+1 +1 个数个数 , , 如果满足如果满足: :则则 被叫作这个点的被叫作这个点的齐次坐标齐次坐标. .被称作被称作非齐次坐标非齐次坐标. .不全为不全为0 0的数的数 组成的坐标组成的坐标被称作被称作无穷远点的齐次坐标无穷远点的齐次坐标. .齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ）深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所24/一维齐次点坐标定义一维齐次点坐标定义齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ）深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所25/二维齐次点坐标定义二维齐次点坐标定义有穷远点方向为 =x2/x1的 无穷远点非齐次齐次坐标关系y轴上的 无穷远点(x, y)x = x1 / x3, y = x2 / x3(x1, x2, x3) (x30)(x1, x2, 0) (x10)(=x2/x1)(0, x2, 0) (x20)无穷远点齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ）深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所26/Homogeneous coordinatesHomogeneous coordinatesConversionConversion Converting to homogeneous coordinateshomogeneous image coordinateshomogeneous scene coordinatesConverting from homogeneous coordinates深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所27/Homogeneous coordinatesHomogeneous coordinatesInvariant to scalingInvariant to scalingPoint in Cartesian is ray in HomogeneousPoint in Cartesian is ray in HomogeneousHomogeneous CoordinatesCartesian Coordinates深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所28/Basic geometry in homogeneous coordinatesBasic geometry in homogeneous coordinatesLine equation: ax + by + c = 0Line equation: ax + by + c = 0Append 1 to pixel coordinate to get Append 1 to pixel coordinate to get homogeneous coordinatehomogeneous coordinateLine given by cross product of two pointsLine given by cross product of two pointsIntersection of two lines given by cross product Intersection of two lines given by cross product of the linesof the lines深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所29/homogeneous coordinateshomogeneous coordinatesIntersection of parallel linesIntersection of parallel lines深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所30/齐次坐标（齐次坐标（Homogeneous CoordinatesHomogeneous Coordinates ）为什么为什么要用齐次坐标表示？要用齐次坐标表示？可以表示无穷远点；可以表示无穷远点；提供提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中 的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的 有效有效方法。方法。深圳大学光电子研究所深圳大学光电子研究所31/射影变换射影变换(projective transformation)(projective transformation)n n维射影空间的射影变换维