1图论及其应用应用数学学院2本次课主要内容(一)、图的一因子分解(二)、图的二因子分解(三)、图的森林因子分解图的因子分解3把一个图按照某种方式分解成若干边不重的子图之并有 重要意义。理论上，通过分解，可以深刻地揭示图的结构 特征；在应用上，网络通信中，当有多个信息传输时，往 往限制单个信息在某一子网中传递，这就涉及网络分解问 题。一个图分解方式是多种多样的。作为图分解的典型例子 ，我们介绍图的因子分解。所谓一个图G的因子Gi，是指至少包含G的一条边的生成 子图。所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不 重的因子之并。所谓一个图G的n因子，是指图G的n度正则因子。4如果一个图G能够分解为若干n因子之并，称G是可n因 子分解的。图G1在上图中，红色边在G1中的导出子图，是G的一个一因 子；红色边在G2中的导出子图，是G的一个二因子。图G2研究图的因子分解主要是两个方面：一是能否进行分解( 因子分解的存在性),二是如何分解(分解算法).(一)、图的一因子分解5图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配。一个图 能够作一因子分解，也就是它能够分解为若干边不重的完 美匹配之并。定理1 K2n可一因子分解。证明：把K2n的2n个顶点编号为1，2，, 2n。作如下排 列： 2n132: :n2n-12n-2: :n+16图中，每行两点邻接，显然作 成K2n的一个一因子。2n132: :n2n-12n-2: :n+1然后按照图中箭头方向移动一 个位置，又可以得到K2n的一个一 因子，不断作下去，得到K2n的2n -1个边不重的一因子，其并恰好 为K2n。例1 将K4作一因子分解。1234 K44123123471234423143121234例2 证明：K4有唯一的一因子分解。证明：由习题5第一题知：K4只有3个不同的完美匹配。 而k4的每个1因子分解包含3个不同完美匹配，所以，其1 因子分解唯一。8例3 证明：K2n的一因子分解数目为：证明：由习题5第一题知：K2n的不同完美匹配的个数为(2n- 1)!。所以，K2n的以因子分解数目为(2n-1)!个。即：例4 证明：每个k (k0)正则偶图G是一可因子分解的 。证明：因为每个k (k0)正则偶图G存在完美匹配，设 Q是它的一个一因子，则G-Q还是正则偶图，由归纳知 ，G可作一因子分解。9定理2 具有H圈的三正则图可一因子分解。证明：先从三正则图G中抽取H圈，显然剩下边构成 G的一个一因子。而H圈显然可以分解为两个一因子。 所以G可以分解为3个一因子。注：定理2的逆不一定成立。例如：上图是三正则图，且可以一因子分解，但不存在圈。10定理3 若三正则图有割边，则它不能一因子分解。证明：若不然，设G的三个一因子为G1,G2,G3。不失 一般性，设割边e G1。显然，G-G2的每个分支必然为圈。所以e在G的某个 圈中，这与e是G的割边矛盾。注：没有割边的三正则图可能也没有一因子分解，如 彼得森图就是如此！尽管它存在完美匹配。(二)、图的二因子分解如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G 可以2因子分解。注意：G的一个H圈肯定是G的一个2因 子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可以不 连通。11例如，在下图中：两个红色圈的并构成图的一个2因子，但不是H圈。一个显然结论是：G能进行2因子分解，其顶点度数 必然为偶数。(注意，不一定是欧拉图)定理4 K2n+1可2因子分解。证明：设作路12其中，设Pi上的第j点为vk，则：下标取为1, 2, 2n (mod2n)生成圈Hi为v2n+1与Pi的两个端点连线。例4 对K7作2因子分解。解：v7v6v5v4v3v2v1v7v6v5v4v3v2v1v7v6v5v4v3v2v1v7v6v5v4v3v2v113定理5 K2n可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。证明：设V(K2n)=v1,v2,v2n作n-1条路：脚标按模2n-1计算。然后把v2n和Pi的两个端点连接。例5 把K6分解为一个1因子和2个2因子分解。v6v5v4v3v2v114解：v6v5v4v3v2v1v6v5v4v3v2v1v6v5v4v3v2v1定理6 每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因 子之和。证明： 因每个没有割边的3正则图存在完美匹配M，显 然，G-M是2因子。15定理7 一个连通图可2因子分解当且仅当它是偶数度 正则图。证明： 必要性显然。充分性：当G是n阶2正则图时，G本身是一个2因子。设当G是n阶2k正则图时，可以进行2因子分解。当G是n 阶2k+2正则图时，由1891年彼得森证明过的一个结论：顶 点度数为偶数的任意正则图存在一个2因子Q。所以，G-Q 是2k阶正则图。由归纳假设，充分性得证。(三)、图的森林因子分解把一个图分解为若干边不重的森林因子的和，称为图的 森林因子分解。16例如：K5的一种森林因子分解为：主要讨论：图G分解为边不重的森林因子的最少数目问 题，称这个最少数目为G的荫度，记为(G)。纳什-威廉斯得到了图的荫度计算公式。17定理8 图G的荫度为：其中s是G的子图Hs的顶点数，而：例6 求(K5)和(K3,3).1819定理9拜内克给出了完全图和完全偶图的森林因子分解。对于K2n，将其分解为n条路Pi = vivi-1vi+1vi-2vi+2vi-nvi+n,脚 标按模2n计算。对于K2n+1，先作n条路Pi = vivi-1vi+1vi-2vi+2vi-nvi+n,脚标按 模2n计算。在每条路外添上点v2n+1的n个森林因子；然后，v2n+1与v1,v2,v2n分别相连接得一星图，这是G的最 后一个森林因子。20例7 对K7作最小森林因子分解。v7v6v5v4v3v2v1v3v7v6v5v4v2v1v7v6v5v4v3v2v1v7v6v5v4v3v2v121v7v6v5v4v3v2v1例8 证明：若n为偶数，且(G)n/2+1 ,则n阶图G有 3因子。证明：因(G)n/2+1 ,由狄拉克定理：n阶图G有H 圈C .又因n为偶数，所以C为偶圈。于是由C可得到G的 两个1因子。设其中一个为F1。考虑G1=G-F1。则(G1)n/2。于是G1中有H圈C1.作H=C1F1。显然H是G的一个3因子。22例9 证明：一棵树G有完美匹配当且仅当对所有顶点v V(G),有：o(G-v)=1。证明：“必要性”一方面：若G有完美匹配，由托特定理：O(G-v)1;另一方面：若树G有完美匹配，则显然G为偶阶树，于是 O(G-v)1;所以：O(G-v)=1。“充分性”由于对任意点v V(G), 有O(G-v)=1。23设Cv是G-v的奇分支，又设G中由v连到G-v的奇分支的 边为vu，显然，由u连到G-u的奇分支的边也是uv。令M=e(v):它是由v连到G-v的边，v V(G) 则：M是G的完美匹配。vu例10 证明：每个2k (k0)正则图是2可因子分解的。24证明：设G是2k连通正则图，V(G)=v1,v2,vn。 则G存在欧拉环游C。由C构造偶图G1=(X, Y)如下：X=x1,x2,xn, Y=y1,y2,ynxi与yj在G1=(X, Y)中连线当且仅当vi与vj在C中顺次相 连接。显然偶图G1=(X, Y)是一个k正则偶图。所以G1可以1 因子分解。而G1=(X, Y)的一个1因子对应于G中一个2因子。所以 G可以2因子分解。25作业P117-118 习题4 ： 3, 4, 5，6，7，8，926Thank You !