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决胜2011年中考探索性数学问题赣州市教科所教研室习惯上,我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题 分为两大类:一类是已知和结论都有确定要求的题型,简称封 闭性问题;另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要 求的题型,我们把这类问题称为开放探索性问题因此,初中数学中的“探索性”问题的特征是:命题中缺 少一定的题设或没有给出明确的结论,或解题思路及过程没有 确定的形式和方向;解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充 与归纳,并加以计算或证明 探索性数学问题探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活 动,探索性问题存在于一切学科领域之中,在数学中则更为普 遍 探索性数学问题在近几年的中考中频频出现;常出现的有 四大类型:规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索 型等;江西中考试卷中多以一至两个填空、选择题和一个中等 以上的解答题出现,分值约有614分;要求考生对问题进行观 察、分析、比较、概括,达到发现规律,或得出结论,或寻求 使结论成立的条件,或探索数学对象存在可能性与结果的目的 命 题 趋 势探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳 、推理,或由条件去探索出不明确的结论;或由结论去探索 未给予的条件;或去探索存在的各种可能性以及发现所形成 的数学规律解题策略以下课案就近几年的中考试题,列举几例加以说明:目 的是对各种探索性的问题进行归纳、整合,帮助老师和同学们 提高对探索性数学问题的分析、思考及解答能力 【题组讲解】一、基础练习【实现目标】认识各类探索型试题的基本特征与形式,初步掌握解决 各类不同目标的探索性问题的方法 1、规律探索型 规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例 ,通过观察、类比、归纳,揭示和发现题目所蕴含的数学本 质、规律与特征的一类探索性问题解题策略是:常常利用特殊值(包含特殊点、特殊数量 、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般 ,从而得出规律题1(2010四川攀枝花)、如图,将边长为2的等边 三角形沿 x 轴正方向连续翻折2010次,依次得到点则点 , 则点P 2010的坐标是 第1题图P1P3P2Oyx简析:观察预判每一个点 的坐标为:可以递推得点 的坐标 ; 因而点P2010的坐标是 变式:题2(2010广东肇庆)、观察下列单项式: a,2a2,4a3,8a4,16a5,按照此规律,第n个单 项式是 (n是正整数) 简析:这一列单项式,观察每一序列号下单项式的符号 、系数、字母的次数;符号满足奇数序号项为正、偶数序号 项为负;系数的绝对值成2的自然数幂;字母a的次数成正整 数幂递增;因而设定n为正整数,则答案为: 变式:题3(2010江苏盐城)、填在下面各正方形中的 四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是( ) A. 38 B. 52C. 66 D. 74 0284 246 22468 44m6第2题图更为一般的方法:建立序列号1、2、3、n; 则有以下对应关系:第n个正方形左上方格的数字为 2(n-1),右上方格的数字为2(n+1);左下方格的数字 为2n,则m=2n2(n+1)-2(n-1)= 4n2+2n+2, 令n=4,代入即得m=74;2(n-1)2nm2(n+1)简析:观察这一系列 正方形四方格中数字后, 得出:m等于右上的数字 与左下的数字的积减去 左上数字所得的差,即m=108-6=74;故选择D02 84 246 224 68 441 2 3 4m6108变式:题4(2010山东日照)、古希腊人常用小石子在沙 滩上摆成各种形状来研究数,如图;例如: 他们研究过图1中 的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,称其为 三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为 正方形数下列数中既是 三角形数又是正方形数的 是( ) A15 B25 C55 D1225第3题图简析:图1的三角数,从第二个开始,有这样的规律:1=1,3=1+2, 6=1+2+3, ,第n个三角数是:;图2 中的正方形数从第二个开始,有这样的规律: 第m个正方形数时, ;比较A、B、C、D四个数,仅有25、1225是正方形数(m分别等于5、35),检验25不是三角形数(n无整数解),而1225又是三角形数(此时n=35);故1225既是正方形数、又是三角形数;选择D【变式意图】变式试题T2 、T3与T4不仅要考虑数与字母的变化特征,而 且还要观察数的排列规律,同时又要考虑图形的特征表象;需 要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、 推理,获取与形成对每一个问题自身的数学本质与规律的认识 ,再进行严格地推理、验证 【方法提炼】在解决这类一般性规律的探索问题时,特别注意:(1)通 常写成竖式或单列形式进行对比、分析;(2)注重纵横联系与 数形结合;(3)关注序列号与数据之间的联系 2、条件探索型条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的 条件,需要采取证明、推断去探索发现,并补充与完善使结 论成立的一个或一些条件解题策略是:从所给出的结论出发,采用逆推的办法, 猜想出合乎结论要求的一些条件,并进行逻辑推理证明,从 而寻找出满足结论的条件简析:因为CFBE,所以 FCD EBD又因为FDC =EDB,要证明BDECDF, 只需要添加一组对应边相等即可题5(2010浙江金华)、如图,在ABC 中,D是BC 边上的点(不与B、C重合),F、E 分别是AD及其延长线 上的点,CFBE请你添加一个条件,使BDECDF (不 再添加其它线段,不再标注或使用其它字母),并给出证明 (1)你添加的条件是: ; (2)证明: ACBDFE 第5题图答案:(1) 从BDCD(或点D是线段BC的中点),BE CF,EF;三者中任选一个即可(2)以添加EF 为例,进行证明: CFBE, FCD EBD又 FDC EDB,且添加EF; BDECDF题6(2009山东东营)、如图,在四边形ABCD中,已 知AB与CD不平行,ABDACD,请你添加一个条件: ,使得加上这个条件后能够推出:ADBC且ABCD BCDAO第6题图简析:命题的结论很明显: 四边形ABCD欲成为等腰梯形; 现需探索补充使它成立的一个 条件(有可能不唯一);可以 先观察与已知条件ABDACD相关联的、一对可能 全等的三角形ABD与ACD,满足这种可能的添加条件有若 干条;也可以从其他方面入手;可供添加的条件可以是以下的 任选其一:解答:DACADB,BADCDA,DBC ACB,ABCDCB,OBOC,OAOD 3、结论探索型 结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结 论,需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题;这 类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论“成立”、“不成 立”、“是否成立”等语句加以表述,或直接问“有何结论”等 它与传统题的区别在于:探索问题的结论的过程往往也是解 题过程 解题策略:从剖析题意入手,充分捕捉题设信息,执因 索果,顺向推理或联想类比、猜测等,获得所求结论(特别 注意:解答的多样性和反思与证明) 题7 (2009甘肃定西)、抛物线的部分图象 如图所示,请写出与它的关系式、图象相关的 两个正确结论: , (直接采用已知数据的结论除外) 第7题图简析:已知的是二次函数的图像,结合图像可读出对称 轴方程、抛物线与x轴、y轴的交点坐标;通过计算推理可得 到:c = 3,b = -2;因而从关系式、图像两方面,可填入的正确结论: b + c = 1;图像与x轴的另一个交点坐标 (-3,0);解析式为 y = -x2-2x+3; 方程 -x2-2x+3=0有两个根 x1= -3, x2= 1;抛物线的顶点坐标(-1,4); 该二次函数的最大值为4; 当x -1 时,y 随着x的增大而减少; 若二次函数y0 , 则有 -3x1 等等; 任选两条均可 第7题图4、存在探索型探索存在型问题:是指在一定的前提条件下,需探索 发现某种数学关系是否存在的一类问题;它往往以“是否 存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现,以示结论 成立与否有待判断解题策略是:通常对结论作出肯定存在的假设,再按 题设条件进行推理、计算,若导出矛盾,则否定先前的假 设;若推出合理的结论,则说明先前的假设成立 题8:(2009江西样卷)、在平面直角坐标系中,现将一块 等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点A (0,2),点C(-1,0),如图;抛物线 经过 点B(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点 P(点B除外),使ACP仍然是 以AC为直角边的等腰直角三角形? 若存在,求所有点P的坐标;若不 存在,请说明理由第8题图解答:(1) 过点B作 ,垂足为D, 又 , = =1, = =2;点B的坐标为(-3,1);(2)代入点B的坐标,抛物线的解析式 还是可以求得的;(2)抛物线 经过点B(-3,1) ,则得到 ,解得: ,所以抛物线解析式为 ;简析:(1)借助全等三角形,容易求得点B的坐标;D第8题解答图(3)假设存在P1、P2两点, 使得ACP是直角三角形: 若以AC为直角边,点C为直角 顶点;则延长BC 至P1点,使得 P1 C=BC,得到等腰直角三角形 AC P1 ,利用MP1 C DBC 可求得点P1(1,-1);经检验: 点P1(1,-1)在抛物线上,使 等腰直角三角形; 若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作 , 且使得 ,得到等腰直角三角形ACP2 ,利用AP2N CAO;可求得点P2(2,1);经检验:点P2 (2,1)也 在抛物线上,使得ACP2也是等腰直角三角形第(3)是存在性探索问题: 假设这样的点 P 存在,思考过程 中,考虑点P是否点B 关于直线AC 的轴对称点?考虑点P 是否 是关于线段AC 中点的中心对称点?(或者将等腰直角三角板 ABC物化, 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转
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