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2005年秋季学期第2章 薛定谔方程陈信义编 1目 录2.1 薛定谔方程和力学量算符2.2 无限深方势阱中的粒子2.4 一维谐振子2.3 量子隧穿效应22 .1薛定谔方程和力学量算符1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德 布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后 ,物理学家德拜(P.Debey)评论说:认真地讨论波动 ,必须有波动方程。几个星期后,薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说:你们要的波动方程,我找到了!这个方程,就 是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性 也只能靠实验来检验。3一、自由粒子薛定谔方程自由粒子波函数(一维)微商,得到方程4对波函数的运算、变换或操作。:算符 代表用 乘波函数 :对波函数取复共轭:算符 代表对波函数关于 求导:算符 代表对波函数关于 求导算符是通过对波函数的作用关系来定义的例如算符(operator)5对于非相对论性自由粒子:算符对应关系:作用于波函数,得自由粒子薛定谔方程算符和力学量的对应关系:6设粒子在势场U(x,t)中运动,能量关系为二、薛定谔方程算符对应关系:作用于波函数,得薛定谔方程7三维:引入拉普拉斯算符:薛定谔方程:8若 和 是薛定谔方程的解, 则 也是薛定谔方程的解。l是线性齐次微分方程,解满足态叠加原理l方程中含有虚数 i它的解 是复函数,复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度,可测量。l是量子力学的基本方程,描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。9三、力学量算符的引入量子力学假设:力学量用算符表达。1、坐标算符其中 代表任意波函数。 坐标算符假定为2、动量算符算符和动量的对应关系: 坐标算符假定为10【例】动量算符对自由粒子波函数的作用粒子的动量作用结果:等于粒子的动量乘波函数。自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。描述的粒子的动量,结果一定等于动量 。测量由自由粒子波函数 物理上的理解:动量是动量算符的“本征值”。113、哈密顿(Hamilton)量若U不显含时间,则H 称为能量算符。用哈密顿量,薛定谔方程可写成势函数U不显含时间的情况很重要。这时, 薛定谔方程可分离变量求解。 12l哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演 化,外界对粒子的作用,包括不能用力来表达 的微观相互作用,一般都可以用哈密顿量中的 势函数U(x,t)来概括。l而在经典力学中,改变宏观粒子运动状态的 原因是作用在粒子上的力。 l只讨论势函数U与时间无关的情况。13算符只是抽象的数学记号,其本身并不象 经典力学中力学量那样代表物理量的取值。算符和相应力学量的取值之间,是通过本 征方程联系起来的。四、力学量算符的本征方程力学量算符 的本征方程,指下述类型方程如果粒子处于本征态 ,则粒子的与 对 应的力学量的取值,一定等于本征值 。本征值 本征波函数(态)14本征值的集合 本征值谱;l坐标算符 的本征方程及其解本征波函数的集合 本征函数系。本征值谱:本征函数系: 如果粒子处于态 ,其坐标一定为 。(连续谱)15l动量算符 的本征方程及其解 本征函数系:如果粒子处于态 ,其动量一定为 。本征值谱:(连续谱)l哈密顿量 的本征方程及其解给定U(x)的具体形式,求解微分方程;顾及 本征波函数的自然条件。16五、不含时薛定谔方程(能量本征方程)除以 ,得若势函数U不显含t,为求解薛定谔方程,设代入薛定谔方程,得=E (常数)上式可分为以下两个方程: 17(1)(2)方程(1)的解为方程(2):式中E具有能量量纲,C 可以是复数。(简谐振动)或称能量本征方程。不含时薛定谔方程18数学上:E 不论取何值,方程都有解。 物理上:E 只有取一些特定值,方程的解才 能满足波函数的条件(单值、有限、连续)。l满足方程的特定的E 值,称为能量本征值。l定态:能量取确定值的状态,薛定谔方程的特解。l E称为与E对应的本征波函数。若粒子处 于E,则粒子的能量为E。19对于不同的势能函数和能量区间,能量本征 值可以取一系列分立的值,也可以取连续值。 为了讨论方便,下面假设它取分立值 En,n=1,2,3, 相应的本征波函数为 n,n=1,2,3, 薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式20式中Cn称为展开系数。后面证明,给定初始时刻的状态(x,0), Cn 可按下式计算若势函数不显含时间,则薛定谔方程的求解 ,可通过解能量本征方程(不含时薛定谔方程 )来解决。 因此,能量本征方程的求解,在 量子力学中占有重要地位。21改写成l一类是本征值问题,给定势能函数U(x),求 粒子的能量E和相应的本征波函数n(x);求解两类问题:l另一类是散射问题,假设粒子以能量E射向势 垒U(x),计算粒子穿透势垒的概率。222.2 无限深方势阱中的粒子U=0EUUU(x)x0无限深方势阱,为什么?a金属U(x)U=U0U=U0E U=0 x0a23能量本征方程:解方程,求出能量本征值谱 、 本征波函数集合 。无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成为给定的初始时刻的状态。24一、势阱中粒子的能量令 ,方程写成 粒子被束缚在势阱内(束缚态)1、阱外2、阱内25通解:“单值、有限”已 经满足,下面看连续条件。3、用连续条件定特解 A,B为待定常数,由波函数应满足的“单值 、有限、连续”条件决定。k取特定值E取特定值26一维无限深势阱能量的本征值:【思考】为什么不取 ?其中n称为量子数,n=1代表基态,取其它值 代表激发态。这表明,一维无限深方势阱中运 动粒子的能量是量子化的。能量本征值也称为 能级,在一定条件下粒子的状态可以从一个能 级变化到另一个能级,这种变化叫跃迁( transition)。27l最低能量(基态能量) 零点能l能级间隔宏观情况或量子数很大时,可认为能量连续。28二、势阱中粒子的波函数定态:29l势阱中粒子的概率密度l势阱中粒子的德布罗意波能量为En的定态n,对应波长为n的德布 罗意波的驻波。l在定态n(x,t)或能量本征态n(x)上测量粒子 的能量,结果一定是能量本征值En。30n很大时,势 阱内粒子概率 分布趋于均匀量子 经典|2n|En|2n|束缚态 (bound state)E1E2E3E4Enn0x势阱内粒子概率分 布与经典情况不同玻尔对应原理31任何满足适当边界条件和连续性要 求的波函数 ,均可用这个函数系作展开 三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合 l正交、归一化条件(自己验证):l完备性:展开系数按下式计算(付氏级数)32证明:33平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振 动。例如,原子核内质子和中子的振动、原子 和分子的振动、固体晶格离子的振动等。2.3 一维简谐振子选平衡位置为坐标原点和势能零点,简谐振 子能量本征方程为本征态是束缚态:341、 简谐振子的能量n = 0, 1, 2, 采用级数解法。结果如下:35(1)量子化,等间距: 符合不确定度关系(3)有选择定则: (2)有零点能:所以,室温下分子可视为刚性。能级跃迁要满足(4) 当n 时,符合玻尔对应原理。量子化连续(宏观振子能量相应n 1025 ,E 10-33J )分子振动 E (10 2 10 1 eV) kT (室温),362、简谐振子的本征波函数Hn是厄密(Hermite)多项式, 最高阶是 373、概率密度波函数概率密度n = 0xn = 0xn = 1xn = 1xn = 2xn = 2x38xn很大EnE1E2E0 0U(x)概率密度的特点:(1) 概率在E 50nm时, T0, 隧道 效应基本消失, 量子经典。51二、量子隧道效应的应用隧道二极管,金属场致发射,核的 衰变,1、核的 衰变U Th + He2382344 是通过 隧道效应出来的。对不同的核,算出的衰变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV0核力势能库仑势能522、扫描隧道显微镜(STM) (Scanning Tunneling Microscopy)STM是一项技术上的重大发明,原理:利用量子隧道效应1986. Nob :鲁斯卡(E.Ruska) 1932发明电子显微镜毕宁(G.Binning)罗尔(Rohrer)发明STM表面的微观结构(不接触、不破坏样品)。用于观察53U0U0U0A 常量 样品表面平均势垒高度( eV)d 1nm( 10A )。d 变 i 变,反映表面情况。ABdE隧道电流 iABU d探针样品电子云重叠54隧道电流i,对针尖和样品表面之间的距 离d非常敏感。用金属探针在样品表面扫描 ,通过隧道电流的变化就能记录下样品表 面的微观形貌和电子分布等信息。扫描隧道显微镜在表面物理、材料科学 、化学和生物等很多领域的科学研究中都 有重要的应用。 55隧道 电流反馈传感 器参考信号显示器压电 控制加电压扫描隧道显微镜示意图56用STM得到的神经细胞象硅表面STM扫描图象571991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙 原子,拼成了字母IBM,每个字母长5纳米。移动分子实验的成功,表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步,其内在 意义目前尚无法估量。58镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片Fe原子间距:0.95 nm,圆圈平均半径:7.13 nm48个Fe原子形成“量子围栏”,围栏中的电子形成驻波。59
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