10.2 排列与组合基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习1.排列与组合的概念知识梳理名称定义排列从n个不同元素中取出(mn)个元素按照 排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.所有不同排列组合所有不同3.排列数、组合数的公式及性质公式性质(1)0！ ； _n(n1)(n2)(nm1)1n！判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(4)(n1)！n！nn！.( )(5) ( )(6) ( )思考辨析考点自测1.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数A.24 B.48C.60 D.72答案 解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 种情况，再将剩下的4个数字排列得到 种情况，则满足条件的五位数有 72(个).故选D.2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A.144 B.120 C.72 D.24答案解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 43224.3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A.8 B.24 C.48 D.120答案 解析末位数字排法有 种，其他位置排法有 种，共有 48(种).4.某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答)答案解析1560依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 40391 560(条)留言.5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种. 解析 答案14题型分类 深度剖析题型一 排列问题例1 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法.(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.2520当最左端排甲时，不同的排法共有 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有 种.故不同的排法共有12096216(种).216答案解析答案解析引申探究1.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有 5 040(种)排法. 解答2.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解答相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法.根据分步乘法计数原理，共有 288(种)排法.3.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解答不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有 种排法，故共有 1 440(种)排法.4.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解答先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有 5(种)排法；再安排其他人，有 720(种)排法.所以共有 3 600(种)排法.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.思维升华跟踪训练1 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？解答(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解答题型二 组合问题例2 (1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是A.60 B.63C.65 D.66解析 答案因为1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有 66(种)不同的取法.(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法.答案解析36只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有 36(种)不同的选法.引申探究1.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有 126(种)不同的选法.2.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答3.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华跟踪训练2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？解答某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？从34种可选商品中，选取3种，某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.解答(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有 2 100(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答题型三 排列与组合问题的综合应用命题点1 相邻问题例3 (2017济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A.33! B.3(3！)3C.(3！)4 D.9!答案解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.命题点2 相间问题例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.答案解析120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有 48(种)安排方法.由分类加法计数原理知共有363648120(种)安排方法.命题点3 特殊元素(位置)问题例5 (2016郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个.答案解析51由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数.思维升华跟踪训练3 (1)(2016山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为答案解析A.150 B.180C.200 D.280分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有 90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有 60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为9060150，故选A.(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有A.150种 B.114种C.100种 D.72种答案解析先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有 25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有254100(种).典例 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.排列、组合问题现场纠错系列14错解展示 现场纠错 纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件.(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.解析 先从一等品中取1个，有 种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有 2 736(种)不同取法.答案 2736返回解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有CCCCC1 136(种).方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CC1 136(种).答案 1136返回课时作业1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为