五.采用面积坐标时的单元分析j ikyxP1 .面积坐标三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作PijPikPjkL i= P jk/ ijkL j= P ik/ ijkL k= P ij/ ijk面积坐标由于 Li+ Lj + Lk = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点P 的位置可用面积坐标Li、 Lj 确定。当P 点在i结点时Lj = Lk= 0， Li= 1。余类推。可见面积坐标具有“形函数”的性质。Li+ Lj + Lk=1五.采用面积坐标时的单元分析j ikyxP2 .位移模式PijPikPjk由于面积坐标有形函数性质，因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。形函数 Ni=Li 面积坐标如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k ）则单元位移模式（位移场）为 u= Niui ； v= Nivi 面积坐标和直角坐标关系:j ikyxP PijPikPjkj ikyxP PijPikPjkLi+ Lj + Lk=1x=Lixi+ Ljxj + Lkxky=Liyi+ Ljyj + Lkyk后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致.3.1 常应变三角形单元 3 3 平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析一.离散化单元结点位移向量3.2 矩形双线性单元水坝1234(x1 , y1) aabb (x2 , y2)(x3 , y3)(x4 , y4)单元结点力向量同理,有二.单元分析若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到下面用试凑法确定形函数矩阵1.单元位移 设单元内位移为1234(x1 , y1) aabb (x2 , y2)(x3 , y3)(x4 , y4)4123(-1,-1) 1111 (1,-1)(1,1)(-1 ,1)令 由形函数性质可设正则(自然) 坐标系或思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么?2.单元应力与应变同理,有4123(-1,-1) 1111 (1,-1)(1,1)(-1 ,1)或思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么?2.单元应力与应变2.单元应力与应变应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵应力矩阵应力矩阵对于平面应力问题应力矩阵应力矩阵对于平面应力问题从应变矩阵和应力矩阵可见:单元内应力和应变沿x方向是线性变化的, 沿y向也是线性变化的.这是由所设位移模式所决定的.3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载用虚位移原理或势能原理可推得对于平面应力问题三.算例见教材98页例题5-2、99页例题5-3