1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理 第一章 解三角形高中新课程数学必修第一课时问题提出1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐 角A，B之间有怎样的数量关系？ ABCabc3.对于直角三角形，我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系，我们需要建立相关理论进行 沟通，这是一个有待探究的课题.2.三角形是最基本的几何图形，许多与 测量有关的实际问题，都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度；测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 知识探究（一）：正弦定理的形成 思考1：在RtABC中，C90，BC a，ACb，ABc，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ CABabc思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？CABabc思考3： 可变形为 , 在锐角ABC中，该 等式是否成立？为什么？CABabD思考4： 若C为钝角， 是否成立？ 若A为钝角， 是否成立？ 若B为钝角， 是否成立？ CABabCABa bDD思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.知识探究（二）：正弦定理的向量证明 思考1：在ABC中，向量 ， ， 之间有什么关系？ CABab思考2：若A为锐角，过点A作单位向量 i，使i ,则向量i与 , , 的 夹角分别是什么？CABabi思考3：由 可得什么结论？CABabi思考4：若A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？CABabi思考5：若证明 ，应如何作 单位向量i？ CAcbB i理论迁移例1 在ABC中，已知A=32.0， B=81.8，a=42.9cm，解三角形. C=66.2，b80.1cm，c74.1 cm. 例2 在ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40，解三角形. 例3 在ABC中，已知a=60cm， b=50cm，A=38，解三角形. sinB0.8999，B64，C=76， c30 cm；或B116，C=24，c13 cm. sinB0.5131，B31，C=111， c91 cm 小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即， ， 每个等式都表示三角形的两个角和它们 的对边的关系. 3.利用正弦定理可以解决两类解三角形 的问题：一类是已知两角和一边解三角 形；另一类是已知两边和其中一边的对 角解三角形.对于第二类问题，要注意确 定解的个数.作业：P4 练习 ：1, 2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理第二课时问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.2.在解三角形中，利用正弦定理可以解 决哪两类问题？已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.3.在正弦定理中， 有什么几何意义 ？利用正弦定理可以得到哪些相关结论 ？这需要我们作进一步了解和探究，加 深对正弦定理的理性认识.3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，探究（一）：正弦定理的几何意义思考1：在直角三角形ABC中， 等于 什么？ CABabc3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，思考2：如图，作ABC的外接圆，你能 构造一个一条直角边长为a，其对角大小 为A的直角三角形吗？ DCABaO思考3：设ABC的外接圆半径为R，则等于什么？ 思考4：如图，若A为钝角，上述结论 还成立吗？若A为直角呢？DCABa O探究（二）：正弦定理的变式拓展思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？思考3：利用正弦定理如何求三角形的周 长？思考4：设ABC的外接圆半径为R，则其面积公式 可以作哪些变形 ？ 思考5：在ABC中，设A的平分线交BC边于点D，则 （角平分线定理） ，你能用正弦定理证明这个结论吗？CABD理论迁移例1 在钝角ABC中，已知AB= ， AC=1，B=30，求ABC的面积.例2 在ABC中，已知 ， sinB=sinC，且ABC的面积为 ， 求c边的长.例3 在ABC中，已知acosB=bcosA， 试确定ABC的形状.等腰三角形 例4 在ABC中，已知，求角A的值.120 小结作业1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理，它不仅可以用来求三角形的边 角值，而且可以在三角变换中实现边角 转化，是解决三角形问题的一个重要工 具.2.正弦定理的应用具有一定的灵活性， 在处理三角形的边角关系时，利用 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达 到化边为角的目的.3.正弦定理不是万能的，如已知三角形 的三边长，利用正弦定理就不能求出三 个内角，因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何，且听下回分解.作业：P10习题1.1 A组：2. B组：2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理第一课时问题提出1.正弦定理的外在形式是什么？其数学 意义如何？在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.2.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边，能否用正弦定理解三角形？3.对于上述问题，需要建立一个新的数 学理论才能解决，这是我们要研究的课 题.探究（一）：余弦定理的推导思考1：根据平面几何中两个三角形全等 的判定定理，确定一个三角形可以是哪 些条件？ 边、角、边角、边、角边、边、边思考2：在ABC中，已知边a，b和角C， 从向量的角度考虑，可以求出什么？cCABab思考3：c边的长即为 ，向量 与 ， 有什么关系？思考4：如何将 转化为c与 a，b，C的关系？思考5：根据上述推导可得，此式对任意三角 形都成立吗？cCABab思考6：如图所示建立直角坐标系，点A ，B的坐标分别是什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？CABabxyA(bcosC，bsinC)B(a，0)思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么 ？思考8：上述三个等式称为余弦定理.如 何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他 两边的平方和，减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍. 探究（二）：余弦定理的变式思考1：在ABC中，若已知边a，b和角C ，如何求边c和角A，B？cCABab思考2：已知三角形的三边a，b，c，求 三内角A，B，C，其计算公式如何？思考3：上述三个公式是余弦定理的推论 ，如何通过三边的大小关系判断A是锐 角、直角还是钝角？思考4：若已知边a，b和角A，能直接用 余弦定理求边c吗？ cCABab思考5：结合正弦定理， 可作什么变形？理论迁移例1 在ABC中，已知b=60cm， c=34cm，A=41，解三角形. a21676.82，a41cm，sinC0.544， C33，B106. 例2 在ABC中，已知a=134.6cm， b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形. cosA0.5543，A5620， cosB0.8398，B3253， C9047. 例3 在ABC中，已知a= ，b= ， B=30，求边长c的值.4例4 已知ABC的周长为20，A=30 ，a=7，求这个三角形的面积.小结作业1.余弦定理及其推论，把用“边、角、 边”和“边、边、边”判定三角形全等 的原理，从数量化的角度进行了刻画， 使其变成了可以计算的公式.2.余弦定理的主要作用是已知两边一角 求边，或已知三边求角，所得结论是唯 一的.同时，利用余弦定理也可以实现边 角转化.3.余弦定理及其推论共有六个基本公式 ，应用时要注意适当选取，有时可结合 正弦定理求解.作业：P8练习：1，2.1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理第二课时知识整理1.余弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？三角形中任何一边的平方，等于其他 两边的平方和，减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍. 2.在三角形的六个基本元素中，已知哪 三个元素可以解三角形？3.针对上述类型，分别用哪个定理求解 为宜？已知一边两角：正弦定理； 已知两边及夹角：余弦定理； 已知两边及对角：正弦定理； 已知三边：余弦定理.一边两角，两边一角，三边. 应用举例例1 在ABC中，已知 (sinAsinC)(sinAsinC) sinB(sinBsinC)，求角A的值.120 例2 在ABC中，已知ac2b， B30，面积为 ，求b的值.例3 在ABC中，已知C30，求 的值. 例4 在ABC中，求证： 例5 在ABC中，求证： 例6 在ABC中，求证： 小结作业1.以三角形为背景求值或证明三角等式 ，是三角变换中的两个基本问题，活用 正、余弦定理，从整体进行变形和运算 ，是解题的基本思想.2.利用正、余弦定理化边为角，或者化 角为边，是处理三角形中三角变换问题 的基本策略，是实现三角运算与代数运 算相互转化的主要手段.作业：P10习题1.1A组：3.