定义1内积一、内积的定义及性质说明1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义内积的运算性质定义2 令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质解单位向量夹角 正交的概念 正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法证明 正交向量组的性质例1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 向量空间的正交基即解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有解 规范正交基例如同理可知（1）正交化，取 ， 求规范正交基的方法（2）单位化，取例 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解 先正交化，取施密特正交化过程再单位化， 得规范正交向量组如下例解再把它们单位化，取几 何 解 释例解把基础解系正交化，即合所求亦即取证明定义4定理四、正交矩阵与正交变换为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交性质 正交变换保持向量的长度不变证明例 判别下列矩阵是否为正交阵定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换解所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵由于例解1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化五、小结2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与正交思考题思考题解答