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对数与对数运算对数与对数运算 1 1思考:问题1:解方程2x=4和2x=9是否有解?如有解写出它们的解. 2x=4有解:x=22x=9也有解,但表示不出来它们都是已知底数和幂求指数问题问题2:假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少 年国民生产总值是2002年时的2倍?假设经过x年国民生产总值是2002年时的 2倍,根据题意有: a(1+8%)x=2a 即1.08x=2这也是已知底数和幂的值,求指数的问题也就是我们这节将要学习的对数问题一般地,如果a(a0且a1)的b次幂等于N, 即 ab=N. 那么数b叫做以a为底N的对数. 记作: loga N=b其中 a叫做对数的底数,N叫做真数新课讲解新课讲解 1.定义含义是”等价于”指数式与对数式的对比式子名称a b N指数式: a b =N 对对数式: log a N=b 底数指数底数对数幂值真数对定义的几点说明: 1.为什么规定a0且a 1?当a0,ab=N03. loga N=b 其中 a0且a1 , N04.对数的三个重要性质:1. loga 1=0(a0=1)2. loga a=1(a1=a)3. alogaN = N(设loga N=x,则ax=N,alogaN = N)对数恒等式例1.将下列指数式写成对数式(1)54=625(2) (3)3a=27解(1)log5625=4例2.将下列对数式写成指数式(1)(2)log2128=7(3)loga0.01=-2解(1)(2)27=128(3)a-2=0.01(2)(3)log327 =a2对数式与指数式的互换 ab=N loga N=b 3介绍两种特殊的对数:1.常用对数:对数logaN (a0且a1)在底数a=10时, 叫做常用对数. 记作lgN. 例如: log103 简记作 lg3.2.自然对数:对数logaN (a0且a1)在底数 a=e (e 是一个无理数,e2.71828)时,叫做自然对数. 记作lnN. 例如loge10 简记作 ln10.(设lg10=x 则10x=10, x=1.lg10=1)注:几个常见对数(1) lg10=1(2) lg2=0.3010 (3) lne=1例3.求下列各式的值:解 :(1)设log416=x 则4x=16, (2)设log24=x 则2x=4, x=2.log24=2(3)x=2.log416=2例题分析例题分析例4.求下列各式中的x(1)log7(x2-1)=0点评:解对数方程要验根5.求下列各式中的x6.计算下列各式例7.(1)已知loga2=m,loga3=n,求a 2m+n的值 (2)解:(1)loga2=m,loga3=nam=2,an=3 a 2m+n=(am)2an=223 =12 (2)知识探究知识探究思考2:将log232log24十log28推广到 一般情形有什么结论?思考1:求下列三个对数的值:log232, log24 , log28你能发现这三个对数 之间有哪些内在联系?思考3:如果a0,且a1,M0,N0, 你能证明等式loga(MN)logaM十 logaN成立吗?证明: 设 由对数的定义可以得: MN= 即证得 对数的运算性质证明 :4.对数的运算性质如果 a 0,且a 1,M 0, N 0 有:说明:2) 有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,)4)注意 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”;注意M,N0证明: 设 由对数的定义可以得: 即证得 证明 :注:证明:设 由对数的定义可以得: 即证得 证明 :例题分析例题分析例6 解(1) 解(2) 用 表示下列各式: 例7 计算(1) (2) 解 :=5+14=19解 :解:练习:三维设计P59注:区分(lga)2与lga2解:注意:
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