推广一元函数微分学 多元函数微分学 第九章 多元函数微分法 及其应用 第九章 一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性9.1 多元函数的基本概念 一、 平面点集 1. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。方邻域与圆邻域可以互相包含.注：设A,B 为数集,则AB=如2. 区域 (1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点.的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 必有下列关系之一成立所有的边界点记为 E(2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若 E E, 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，在平面上开区域闭区域 整个平面 点集 是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 (为什么?).o 对区域 D , 若存在正数 , 使一切点 PD 与原点O 的距离 OP ,则称 D 为有界域 . 否则称为无界域 .即存在正数,使得 3. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .的距离记作中点 a 的 邻域为规定为 与零元 O 的距离为二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 理想气体的压强 三角形面积的海伦公式定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数 点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切(称为 二重极限)二 重极限的记号二元函数的极限还可写作：注: 极限A与的方式无关例1. 设求证：证:所以总有令 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有极限与k 有关 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例2. 讨论函数函数例3. 求解: 因则原式=两点要求:(2)会证明二重极限不存在(P63 6可利用求一元函数极限的方法,后面还要讲)(P63 7利用前面例2的方法)(1)会求二重极限四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 由一元基本初等函数 和常数,经有限次 四则运算和有限次复合并能用一个式子表示的函数,称为(自变量可不同)初等函数.(多元)他是代入法求极限的依据定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:解: 原式例4.求例5. 求(可用等价代换的方法)解:所以,原式=解:(3)令例6. 求下列极限所以,由夹逼准则,得原极限=0.原式=另解:内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性 1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P62 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画出定义域的图形 ) P130 题 3; 4思考与练习作业 P2习题9-16 (1), (3), (6)7(2)，8,9预习9.2解答提示:P62 题 2. 称为二次齐次函数 .P62 题 4.P62 题 5(3).定义域P62 题 5(5).定义域P62 题 8.间断点集P130 题 3. 定义域P130 题 4. 令 y= k x ，若令, 则 可见极限不存在