transmitterreceiverTRANSMISSION CHANNELnoisemodulationdetection2.42.4、联合概率分布和互相关函数、联合概率分布和互相关函数LPFMODBPFBPFDMODLPFTransmission System问题的提出：问题的提出：1 / 30LPFMODBPFBPFDEMODLPFTransmission System with NoiseTransmission System with Noisereceiverinputsignal +noiseoutputsignal +noise问题的提出：问题的提出：2 / 302.4.12.4.1、两个随机过程的联合概率分布、两个随机过程的联合概率分布设有两个随机过程 和 ，它们的概率密度分 别为定义这两个过程的 (n + m) 维联合分布函数联合分布函数为：High-order Joint PDFHigh-order Joint PDF3 / 302.4.12.4.1、两个随机过程的联合概率分布、两个随机过程的联合概率分布定义这两个过程的 ( (n n + + mm) ) 维联合概率密度联合概率密度为：1）若两个过程的 n + m 维联合概率分布给定，则它们的全部统计 特性也确定了2）可由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布3）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与 时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依联合严平稳或严平稳相依remarks4 / 302.4.22.4.2、互相关函数、互相关函数设两个随机过程 X(t) 和 Y(t)，它们在任意两个时刻 t1 和 t2 的 状态为随机变量 X(t1) 和 Y(t2)，它们的互相关函数定义为：其中 为 X(t) 和 Y(t) 的二维联合概率密度二维联合概率密度定义t1t2X(t)Y(t)RXY(t1,t2)5 / 30互协方差函数互协方差函数: : 中心化互相关函数中心化互相关函数2.4.22.4.2、互相关函数、互相关函数统计独立统计独立6 / 302.4.22.4.2、互相关函数、互相关函数不相关不相关正交正交（1）如果两个随机过程相互独立，且它们的二阶矩都存在，则必互不相关 （2）正态随机过程的不相关与相互独立等价remarksremarks7 / 302.4.22.4.2、互相关函数、互相关函数（1）X(t) 和 Y(t) 各自宽平稳（2）联合宽平稳联合宽平稳: :宽平稳相依宽平稳相依（1）X(t) 和 Y(t) 联合宽平稳（2）联合宽遍历联合宽遍历8 / 302.4.22.4.2、互相关函数、互相关函数宽平稳相依信号互相关函数的性质宽平稳相依信号互相关函数的性质互相关系数互相关系数9 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.12.5.1、复随机变量、复随机变量10 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.12.5.1、复随机变量、复随机变量11 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.22.5.2、复随机过程、复随机过程12 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.22.5.2、复随机过程（共轭自相关、复随机过程（共轭自相关/ /协方差函数）协方差函数）Ignore!Ignore!13 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.22.5.2、复随机过程、复随机过程14 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程2.5.22.5.2、复随机过程（共轭互相关、复随机过程（共轭互相关/ /协方差函数）协方差函数）Ignore!Ignore!15 / 302.52.5、复随机过程、复随机过程宽平稳复随机过程宽平稳复随机过程宽平稳相依复随机过程宽平稳相依复随机过程16 / 302.62.6、离散时间随机过程、离散时间随机过程ttTX(nT)nX(n)本质与连续时间随机信号一样时间变量：t - n17 / 30(1) 一维情况 (2) 二维情况 (3) n 维情况 2.6.22.6.2、离散时间随机过程的概率分布、离散时间随机过程的概率分布18 / 30严平稳随机序列严平稳随机序列2.6.22.6.2、离散时间随机过程的概率分布、离散时间随机过程的概率分布随机序列随机序列 X(n) & & Y(n) 的联合分布的联合分布19 / 302.6.22.6.2、离散时间随机过程的概率分布、离散时间随机过程的概率分布随机序列随机序列 X(n) & & Y(n) 的独立的独立联合概率分布不随时间平移 而变化，全与时间起点无 关，则称此两序列为联合严平稳或严平稳相依随机序列随机序列 X(n) & & Y(n) 严平稳相依严平稳相依20 / 302.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征(1) 均值 (2) 均方值和方差 21 / 302.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征(3) 自相关函数和自协方差函数 (4) 互相关函数和互协方差函数 22 / 302.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征若离散时间随机过程平稳，则其均值、均方值和方差 与 n 无关，为常数，即： 若离散时间随机过程平稳，则自相关函数和协方差只与 时间差有关，即(5) 平稳随机序列 23 / 30对于两个分别平稳且联合平稳的随机过程，其互相关函 数为：互协方差函数为：2.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征(6) 遍历性与时间平均 严遍历性：如果一个随机序列 X(n)，它的各种时间平均（ 时间足够长）依概率 1 收敛于相应的集合平均,则称序列 X(n) 具有严（或狭义）遍历性，并称此序列为严遍历序列 24 / 302.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征 宽遍历性：设 X(n) 是一个平稳随机序列，如果其均值和相 关函数都具有遍历性，则 X(n) 为广义（宽）遍历序列，简称 遍历序列定义如果它依概率 1 收敛于集合均值，即则称 X(n) 均值具有遍历性25 / 30定义时间自相关函数则称 X(n) 自相关函数具有遍历性 如果它依概率 1 收敛于集合自相关函数，即2.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征26 / 30 联合宽遍历性 对于两个随机序列 X(n) 和 Y(n)，如果它们联合平稳，定 义它们的时间互相关函数为：如果它依概率 1 收敛于集合互相关函数,即 则称序列 X(n) 和 Y(n) 具有联合遍历性 2.6.32.6.3、离散时间随机过程的数字特征、离散时间随机过程的数字特征27 / 302.6.42.6.4、相关函数的性质、相关函数的性质(5) 如果 ， n0 为一固定的离散时刻，则28 / 30(6) 对于非周期的平稳随机序列，有 (7) 相关系数注：注：自相关系数表征同一随机序列在不同时刻的起伏值之 间的线性相关程度；互相关系数表征，不同的随机序列在 不同时刻的起伏值之间的线性相关程度 2.6.42.6.4、相关函数的性质、相关函数的性质29 / 302.72.7、正态随机过程、正态随机过程任意任意 n n 维概率密度函数维概率密度函数X(t)tt1t2t3t4titnx1x2x3 x4xixnX(t1)X(t2)X(t3)X(t4)X(tn)X(ti)由一、二阶矩（均值 、方差和相关系数完 全决定）30 / 302.7.22.7.2、平稳正态随机过程、平稳正态随机过程平稳正态过程的定义平稳正态过程的定义由平稳随机过程的三大条件（均值为常数，相关函数只与时间差有关，均方值有界）可知 为确定值，而方差必为常数， 也为常数，物理意义是总平均功率等于交流平均功率与直流平均功率之和remarksremarks31 / 302.7.22.7.2、平稳正态随机过程、平稳正态随机过程Rrk 为行列式中元素 rrk 的代数余子式平稳正态过程平稳正态过程 n 维概率密度表达式维概率密度表达式验证一下验证一下? ?32 / 302.7.22.7.2、平稳正态随机过程、平稳正态随机过程平稳正态过程一、二维概率密度表达式课后验证！课后验证！33 / 302.7.22.7.2、平稳正态随机过程、平稳正态随机过程式中 为随机变量Xk、Xr的协方差函数平稳正态过程平稳正态过程 n n 维特征函数维特征函数34 / 30性质1：正态随机过程的 n 维概率密度完全由它的均值集合，协 方差函数集合所确定性质2：正态过程的严平稳与宽平稳等价 2.7.32.7.3、正态随机过程的性质、正态随机过程的性质性质3：正态过程的不相关与相互独立等价性质4：平稳正态过程与确定信号之和仍为正态分布随机过程 性质5：若正态过程 X(t) 在 T 上均方可微，则 dX(t)/dt 也是正 态过程性质6：若正态过程 X(t) 在 T 上均方可积，则积分过程也是正态过程35 / 30性质8：正态随机过程通过线性系统后的输出仍为正态过程推论：正态过程的线性变换仍为正态过程 2.7.32.7.3、正态随机过程的性质、正态随机过程的性质36 / 30