投 资 学因素模型概述 就目前所学知识，要得到投资者的最优投 资组合，要求知道：回报率均值向量回报率方差-协方差矩阵无风险利率 估计量和计算量随着证券种类的增加以指 数级增加 引入因素模型可以大大简化计算量由于因素模型的引入，使得估计 Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到 大大的简化。 因素模型还给我们提供关于证券回报率生 成过程的一种新视点一元或者多元统计分析，以一个或者 多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以 市场来解释证券的收益更准确。因素模型 （Factor model） 定义：因素模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因素波动或者指标的运动有关 的经济模型。 因素模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因素变动 的敏感度。 依据因素的数量，可以分为单因素模型和 多因素模型。单因素模型(THE SINGLE-FACTOR MODEL) 例如把经济系统中的所有相关因素作为一 个总的宏观经济指数。假设（1）证券的回报率仅仅取决于该 指数的变化（2）除此以外的因素是公司特有风险 残余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以 证券回报率为因变量的单因素模型。若认为GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。 构建函数年份IGDPt（%）股票A收益率（%） 15.7 14.3 26.4 19.2 3 8.923.4 4 8.015.6 5 5.1 9.2 6 2.913.0 4%图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示： 在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。 通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三 种成份： 1.在任何一期都相同的部分 2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都 不相同的部分IGDPt 3.属于特定一期的特殊部分it。 通过分析上面这个例子，可归纳出单因素模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列 （1） 其中：Ft是t时期因素f的预测值；Rit在时期t证券i的回报；it在时期预测的误差；i零因素；i证券i对因素F的敏感度 (sensitivity),或因素载荷（factor loading）为简单计，只考虑在某个特定的时间的因素模型，从而省掉 角标t，从而（1）式变为 （2 ） 并且假设 假设(1)：因素f具体取什么值对随机项没有影响，即因素f 与随机项是独立的，这样保证了因素f是回报率的唯一因素 。 假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有 影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同 因素f所致。 如果上述假设不成立，则单因素模型不准确，应该考虑增加 因素或者其他措施。对于证券i，由其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差因素风险非因素风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为（3）单因素模型可以简化计算单因素模型能够大大简化我们在均值-方差分 析中的估计量和计算量。假定分析人员需要 分析n种股票，则均值方差模型：n个期望收益，n个方 差， (n2-n)/2个协方差单因素模型：n个期望收益，n个bi，n 个残差 ，一个因子f方差 ，共3n1个 估计值。若n50，前者为1325，后者为151。 单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化、GDP增 长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前 者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。 单因素模型难以把握公司对不同宏观经济 因素的反应。多因素模型两因素模型 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因素模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值 其回报率的方差对于证券i和j，其协方差为证券i对因子1的敏感度 两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：有关资产组合有效边界的估计和 计算量大大减少（但比单因子增加）， 若要计算均方有效边界，需要 n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2个因子f方差，1 个因子间的协方差，共4n3个估计 值。多因子模型对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的 收益可以表示为单因素模型下资产组合的收益和方差 对于由N个证券构成的组合P，当组合中每种证 券所占比重为wi时，该组合P的收益为：组合P的期望收益：组合的方差：使用有着不同因素特征的大量资产，可以构造出各种 具有不同灵敏度的证券组合来。有一种投资策略是很有趣的 ，它可以构造出对于某个因素有着单位灵敏度（即灵敏度为 1），而对其他因素有着零灵敏度的证券组合来。称这种证券组合为纯因素证券组合（Pure Factor Portfolio）。 纯因素组合例子假定证券A、B、C有下列灵敏度： 如果投资者按照的比例进行投资，则该种证券组合对于因素1和因素2的 灵敏度分别为1和0： 纯因素组合纯因素组合 纯因素组合：消除了其它所有因素的影响，只对某 一个因素具有敏感性。 例：假设在两因素模型下，三种证券对因素F1和F2 的敏感度如表所示，请构造一个因素F1的纯因素组 合。证券12 1 0.801.50 21.201.56 30.801.60