第三章 经典检测理论3.1检测理论的基本概念 3.2 最大后验概率准则 3.3 最小风险Bayes准则 3.4 最小错误概率准则 3.5 极大极小准则 3.6 Neyman-Pearson准则 3.7 M元检测 检测理论：在噪声和干扰环境下，根据有限的观 测数据，来识别信号有无或判断信号类别的理论 。 判断准则：在特定条件下具有不同含义的最优准 则。 信号检测：是一种基于某种最优准则，对观测数 据的概率统计特性进行分析，最终做出判决的过 程。3.1 检测理论的基本概念 二元检测又称为双择检测，理论模型如下图。 第一部分是信号空间s（信源）：对于二元信 号，信源在某一时刻输出（发射机发送）的信 号只有两种状态。s1(t)-代表1码的波形s0(t)-代表0码的波形第二部分是干扰空间：信号在信道上传输时所叠 加的噪声。一般假设为均值为0，方差为 的高 斯白噪声。 第三部分是接收空间（观测空间）x：接收端接 收到的受到干扰的信号，也是判决处理的输入信 号。x(t)=si(t)+n(t) (i=0,1)第四部分是判决规则：对输入空间的受到噪声干扰 的信号按照某种准则进行判决归类，判断发送端 发送的是s1(t) 或s0(t)。 第五部分是判决空间D：二元检测中，D分为D0区域 和D1区域两部分。 D0区域：判断发送端发送的信号是s0(t) D1区域：判断发送端发送的信号是s1(t)在接收端，无法确定信源在某一时刻输出是那种信号，为 了分析方便，把信源的输出称为假设。两种假设H0和H1H0:x(t)=s0(t)+n(t)H1:x(t)=s1(t)+n(t) 二元数字通信系统中，信源由符号“0”和 “1”组成。当信源输出“0”时，用假设H0表 示；而当信源输出“1”时，就用假设H1表示。 雷达系统中，雷达对特定的区域进行观测并判 定该区域是否存在目标，信源就是目标源。通 常用假设H0表示没有目标，而用假设H1表示有 目标。四种可能的判决结果（1）实际是H0假设为真，而判决为H0假设为真。 （2）实际是H0假设为真，而判决为H1假设为真。 （3）实际是H1假设为真，而判决为H0假设为真。 （4）实际是H1假设为真，而判决为H1假设为真。 正确的假设 （1）（4） 错误的假设 （2）（3)对应于每一种判决结果，有相应的判决概率P（Dj|Hi) (i,j=0,1) :假设Hi为真的条件下，判决Hj成立的概率。在假设Hi为真的条件下，观测量(x|Hi)的概率密度函 数为：f(x|Hi)。 由于观测量（x|Hi）落在判决空间Di，则判决Hi成立， 所以判决概率有：就判决概率而言，我们希望正确的判决概率尽可能大 ，而错误判决概率尽可能小。 判决概率是评价检测性能的重要因素之一。代价函数 代价函数Cij:表示实际是Hj假设为真，而判决为Hi 假设为真所付出的代价。也称为风险函数。 正确的判决无代价：C00=C11=0 检测概率：正确判决的概率P(D1|H1)和P(D0|H0) 虚警：实际H0假设为真，而判决为H1假设为真。 又称为第一类错误。 虚警引入的代价称为虚警代价C01。 虚警发生的概率为：P(D1|H0)称为虚警概率。 漏报：实际H1假设为真，而判决为H0假设为 真。又称为第二类错误。 漏报引入的代价称为漏报代价C10。 漏报发生的概率为：P(D0|H1)称为漏报概率 。双择检验的本质双择检验的本质：如何决定判决区间的划分，使判 决在某种意义上位最佳。 如果我们把 降低，则正确判决概率P（D1| H1)将 增大，但同时另一个正确判决概率P（D0| H0)将减小 。 判决域的划分不仅影响判决概率，而且有最佳的划 分方法。最佳接收机的设计 理想接收机:检测时能够使错误判决为最小的 接收机。 最佳接收机的设计：设计信号处理系统，以 便最佳的从干扰背景中发现信号和提取信号 所携带的信息，并根据其输入做出有无信号 或信号参量取值的决策。3.2 最大后验概率准则3.2.1接收机结构形式 先验概率：实验进行之前，观察者根据以往经验 和分析得到的概率P(H0),P(H1)。 P(H0)+P(H1)=1 后验概率：在一个通信系统中,在收到某个消息x 之后,观察者（接收端）所得到的该消息发送的 概率： P(H0|x)和P(H1|x)。 二元检测：根据观测到的样本值x，来选择或判 决H0假设为真还是H1假设为真。最大后验准则设是s(t)的状态仅有两个H0:x(t)=n(t)无信号，仅有噪声H1=s(t)+n(t)有信号（有目标） 设先验概率P(H0),P(H1)已知 检验（检测）：根据x(t)一个样本点x=x(t0)，给出判决，那个是 真？有乘法公式： P(x,H0)=P(H0|x)P(x)P(x,H1)=P(H1|x)P(x)最大后验概率准则原则：要选择最可能出现的信号为最终的判决结果。 若P(H0|x) P(H1|x),则判决H0假设为真。反之，判决H1假 设为真。 即选择与最大后验概率相对应的那个假设作为判决结果， 这个准则称为最大后验概率准则(MAP准则）(maximum a posterior probability criterion)由于P(H1|x)和P(H0|x)不容易计算 如果已知P(x|H1)和P(x|H0),可以根据bayes公式计算得到Bayes公式： 假设已知先验概率P(i)和观测值的类条件概率 密度函数p(x|i)，i=1,2。 计算后验概率：后验概率P (Hi| x)的计算似然函数，似然比设随机变量X的概率密度函数为f(x)f(x|Hi)是条件概率密度函数，又称为似然函数最大后验概率准则推导设称为似然比门 限值称为似然比似然比的性质（1）似然比是非负实数。 f(x|Hi)0（2）似然比是一个一维随机变 量，当有m个观测值x1,x2,xm判决过程为：求出不同假设条件下的似然函数的似然比，然后 与似然门限值相比，如果大于门限值，则判决假设H1为真； 否则，判决假设H0为真。最大后验概率准则例3.1 设在某二元通信系统中，有通信信号和无通信信号的 先验概率分别为：P(H1)=0.9,P(H0)=0.1。若对某观测值x有 条件概率分布f(x|H1)=0.25和f(x|H0)=0.45，试用最大后验 概率准则对该观测样本x进行分类。 解：判决H1假设为真，即有信号状态。3.2.2 接收机性能评价最大后验概率准则可以使平均错误概率为最小，又称为最 小错误概率准则。 虚警概率为：漏报概率为：总的错误概率（平均错误概率）为：总错误率的计算总错误率最小值的计算同理可得将 代入要使得总错误率最小，则后面的积分取负值。即：最大后验概率准则可以使平均错误概率为最小， 又称为最小错误概率准则。例3.2 在存在加性噪声的情况下，测量只能为1v或0v的直 流电压，设噪声服从均值为0、方差为 的正态分布， 试对测量结果进行分类最大后验概率准则 ：解：在两种假设下的，接收的信号模型为H0:x(t)=n(t)H1:x(t)=s(t)+n(t)=1+n(t)噪声样本符合正态分布而正态分布的概率密度函数为：在两种假设下，观测信号样本x的概率密度函数分别为：似然比函数 ：判断规则为： 两边取对数结论：当观测值大于 时，判决被测直流电压为1V； 当观测电压小于 时，判决被测直流电压为0当x落入D0区域，判决为H0，即直流 电压信号为0V；若落入D1区域，判决为 H1，即直流电压信号为1V3.3 最小风险Bayes准则3.3.1 接收机结构形式 最大后验概率准则只能使平均错误概率最小，并未考虑 两类错误判决所造成的损失大小。 Bayes准则是使平均风险（也称为平均代价或平均损失 ）最小的准则。 代价函数Cij:表示实际是Hj假设为真，而判决为Hi假设 为真所付出的代价(所引起的风险）。也称为风险函数 。 正确的判决无代价：C00=C11=0 错误的判决肯定有代价：C01,C100所以:正确判决的风险小于错误判决的风险在已知H1假设为真的条件下，做出判决的平均代价称为H1 假设下的条件风险：在已知H0假设为真的条件下，做出判决的平均代价称为H0 假设下的条件风险：平均风险各条件概率按其先验概率来进行平均Bayes准则就是按照R最小的原则来划分D1区域和D2区域由于虚警概率：检验概率：要使R为最小:因此，最小风险Bayes准则叙述为 ：则判决H1假设为真，反之判决H0假设为真。 Bayes准则也是一种似然比检验，将似然函数l(x)与似然 门限值l0(x)比较。设似然比门限值 ：似然比 ：Bayes准则下的接收机形式3.3.2Bayes准则与最大后验概率准则的关系 （1）Bayes准则与最大后验概率准则均属于似然比检验 ，只是门限值不同而已。 （2）最小风险Bayes准则的门限值不仅与先验概率 P(H1)和P(H0)有关，还与四个代价函数有关。最大后验 概率准则仅与先验概率有关。 （3）最大后验概率准则是最小风险Bayes准则中取C10- C00=C01-C11时的一种特例。 最大后验概率准则中两类错误的代价：C01=C10 所以最大后验概率准则称为理想观测者准则。例题：设二元假设检验的观测信号模型为：H0:x=-1+nH1:x=1+n 其中n是均值为零、方差为1/2的高斯观测噪声。若两 种检验都是等先验概率的，而代价因子为：C00=1 ,C10=4, C11=2 C01=8 试求Bayes判决表示式解：因为两种假设是等先验概率的P(H0)=P(H1)=1/2 似然比门限值为：似然比为：噪声样本符合正态分布而正态分布的概率密度函数为：在两种假设下，观测信号样本x的概率密度函数分别为：似然比函数 ：3.4 最小错误概率准则Bayes判决准则表示式为：两边取对数，整理得到最简判决表示式为 ：即信号样本函数大于等于-0.1733，假设H1成立信号样本函数小于-0.1733，假设H0成立