(掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质)8.6 椭圆 1椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨轨迹叫做椭圆椭圆 (ellipse)这这两个定点F1、F2叫做椭圆椭圆 的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆椭圆 的焦距2椭圆的标准方程(1)设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a2c0)，则椭圆的标准方程是： 1(其中b2a2c2，ab0)(2)设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆焦点F1、F2的坐标分别为(0，c)，(0，c)又点M与点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a2c0)，则双曲线的标准方程是： 1(其中b2a2c2，ab0)3椭圆的几何性质标准方程 1(ab0) 1(ab0)简 图范 围|x|a，|y|b|y|a，|x|b顶点坐标 ， ，对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O坐标原点O焦点坐标离心率ee(a,0)(0，b)(0，a)(b,0)(c,0)(0，c)1一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是( )A椭圆B.双曲线C抛物线D圆解析：由题图可知PQPA，而OPPAr(圆的半径)，即PQOPr.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，故选A.答案：A2椭圆圆 y21的两个焦点为为F1、F2，过过F1作垂直于x轴轴的直线线与椭圆椭圆 相交，一个交点为为P，则则 等于( )解析：本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径椭圆、双曲线的通径长为 .本题中|PF1|由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4，|PF2|4 .答案：C3已知F1、F2是椭圆椭圆 的两个焦点，过过F1且与椭圆长轴椭圆长轴 垂直的直线线交椭圆椭圆 于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这则这 个椭圆椭圆 的离心率是( )答案：A4与圆圆C1：(x3)2y21外切，且与圆圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆动圆圆心P的轨轨迹方程为为_解析：设动圆的半径为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件得|PC1|1r，|PC2|9r，则|PC1|PC2|10.P点的轨迹为以C1(3,0)、C2(3,0)为焦点，长轴长2a10的椭圆，则a5，c3，b216，所求椭圆的方程为 1.答案： 1利用椭圆椭圆 的定义义可推导椭圆导椭圆 的标标准方程，若P是椭圆椭圆 1(ab0)上一点，F1、F2分别别是椭圆椭圆 1(ab0)的左、右焦点，根据椭圆椭圆 定义义知，|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，可利用所给给的条件解PF1P2.例如已知P点横坐标为标为 x0，则则利用椭圆椭圆 的第二定义义可求出|PF1|aex0，|PF2|aex0等 【例1】 椭圆圆 1的焦点为为F1和F2，点P在椭圆椭圆 上，如果线线段PF1的中点在y轴轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )A7倍 B5倍 C4倍 D3倍解析：由线段PF1的中点在y轴上知PF2F190，由已知条件a2 ，c3，|PF2|2|F1F2|2|PF1|2，即|PF1|2|PF2|236.又|PF1|PF2|4 ，代入得|PF1|PF2|3 ，联立方程组解得，|PF1| ，|PF2| .答案：A变式1.设F1、F2为椭圆为椭圆 1的两个焦点，P为椭圆为椭圆 上的一点已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶顶点，且|PF1|PF2|，求 的值值解答：解法一：若PF2F1为为直角，由已知|PF1|PF2|6，|PF1|2 (6|PF1|)220，得|PF1| ，|PF2| ，故 ；若F1PF2为为直角，|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|220，解得|PF1|4，|PF2|2，故 2.解法二：由椭圆椭圆 的对对称性不妨设设P(x，y)(x0，y0)，则则由已知可得F1( ，0)，F2( ，0)根据直角的不同位置，分两种情况：若PF2F1为为直角，则则P ，于是|PF1| ，|PF2| ，故 ；若F1PF2为为直角，则则解得 即P ，于是|PF1|4，|PF2|2，故 2.求椭圆标椭圆标 准方程的常用方法：(1)求椭圆标椭圆标 准方程除了直接用定义义外，常用待定系数法(2)确定椭圆标椭圆标 准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆椭圆 与坐标标系的相对对位置，在中心为为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴标轴 上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值值，常用待定系数法(3)当椭圆椭圆 的焦点位置不明确而无法确定其标标准方程时时，可设为设为 1(m0，n0)，可避免讨论讨论 和繁杂杂的计计算，也可设为设为 Ax2By21(A0，B0)，这这种形式在解题题中较为较为 方便【例2】 椭圆C： 1(ab0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，|PF1| ，|PF2| .(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2y24x2y0的圆心M，交椭圆C于A，B且A，B关于点M对称，求直线l的方程解答：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a|PF1|PF2|6，a3.在RtPF1F2中，|F1F2| ，故椭圆的半焦距c ，从而b2a2c24.所以椭圆C的方程为 1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)已知圆的方程为(x2)2(y1)25，所以圆心 M 的坐标为(2,1)从而可设直线 l 的方程为yk(x2)1.代入椭圆C的方程得(49k2)x2(36k218k)x36k236k270.因为A，B关于点M对称，所以 2，解得k ，所以直线 l 的方程为y1 (x2)，即8x9y250.(经检验，所求直线方程符合题意)变式2.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1( ，0)，且右顶点为D(2,0)设点A的坐标是(1， )(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC面积的最大值解答：(1)a2，c ，b 1.椭圆的标准方程为 y21.(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式： 又 1， 1，即为中点M的轨迹方程(3)设C(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为ykx与椭圆方程x24y24联立得，x2 ，|CB| |x1x2| 又A点到直线ykx的距离d ，于是SABC |CB|d S2 1当k0时，S21；当k0时，S2b0)上一点，F1、F2是椭圆椭圆 的两焦点，且满满足|AF1|AF2|4.(1)求椭圆椭圆的两焦点坐标标；(2)设设点B是椭圆椭圆 上任意一点，如果|AB|最大时时，求证证A、B两点关于原点O不对对称；(3)设设点C、D是椭圆椭圆 上两点，直线线AC、AD的倾倾斜角互补补，试试判断直线线CD的斜率是否为为定值值？解答：(1)根据已知条件|AF1|AF2|4，且A(1,1)为椭圆上一点知：2a4即a2，(2)证证明：假设椭圆设椭圆 存在一点B，使A、B两点关于原点O对对称且|AB|为为最大，则则B点坐标为标为 (1，1)，|AB|2 ，又椭圆椭圆 左顶顶点M(2,0)到A(1,1)的距离为为|AM| ，|AM|AB|与|AB|最大相矛盾，因此B为椭圆为椭圆 上一点当|AB|取得最大值时值时 ，A、B两点不关于原点O对对称1求椭圆方程：(1)可通过对条件的“量化”根据两个条件利用待定系数法求椭圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求椭圆方程2(1)如果已知椭圆 1(ab0)上一点P，需要解决有关PF1F2的问题，由于在PF1F2中已知|F1F2|2c，|PF1|PF2|2a，如果再给出一个条件，PF1F2可解(2)当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可考虑由第二定义和方程推出的结论焦半径公式|PF1|aex0，|PF2|aex0.【方法规律】3在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如(1)ac与ac分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；(2)椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长 ，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值等4求椭圆的离心率e 可根据已知条件列出一个关于a、b、c的齐次等式，再结合a2b2c2可得关于e的方程求解，求椭圆的离心率与求椭圆的标准方程相比较，比求椭圆的标准方程少一个条件. (2007广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线yx相切于坐标原点O，椭圆 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答题模板】解答：(1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(xp)2(yq)28.直线yx与圆C相切于坐标原点O，O在圆C上，且直线OA垂直于直线yx.于是有 由于点A(p，q)在第二象限，故p0.圆圆C的方程为为(x2)2(y2)28.(2)椭圆椭圆 1与圆圆C的一个交点到椭圆椭圆 两焦点的距离之和为为10，2a10a5，故椭圆椭圆 右焦点为为F(4,0)若圆圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)，且Q(x0，y0)到椭圆椭圆 右焦点F的距离等于线线段OF的长长，则则有|QF|OF|，于是(x04)2 由于Q(x0，y0)在圆圆上，故有(x0