人 工 智 能Artificial Intelligence (AI)第2章 知识表示方法2.1 状态空间法2.2 问题归约法2.3 谓词逻辑法2.2 问题归约法 例：求积分 解法1：解法2：解法3：问 题解法1解法2解法3解法4子问题1子问题2子问题3变换分解问题归约法：从已知问题的描述出发，通过一系列变换或分解将问题最终变为一个子问题集合，这些子问题的解可以直接得到，从而解决初始问题 问题归约法由三个部分组成： 一个初始问题描述 一套将问题变换或分解为子问题的操作符 一套本原问题（解可以直接得到的简单问题）描述2.2.1 问题归约描述 1、例子：梵塔问题（三个盘） 梵塔难题可采用前一讲的状态空间法来求解 其状态空间图每个节点代表柱子上圆盘的一种 状态,共含有27个节点,其节点(状态)数、规则数 多,求解较复杂. 对梵塔难题而言,问题表述和求解更简洁的问题 归约法.解决问题的思路：第一、要将所有盘从第一个柱子搬到第三个柱子，根据游戏规则，首先要搬最大的 C 盘到第三个柱子上(a) 初始配置(b) 目标配置 图2.7 梵塔难题解决问题的思路：第二、要能够搬 C 盘，条件是：第三个柱子是空的，A、B必须在第二个柱子上（这里没有考虑如何搬A、B盘）(a) 初始配置(b) 目标配置 图2.7 梵塔难题解决问题的思路：第三、搬C盘到第三个柱子，然后想办法将A、B盘搬到第三个柱子上 (a) 初始配置(b) 目标配置 图2.7 梵塔难题将问题简化为下列三个子问题：1. 移动园盘 A 和 B 到柱子 2 的双圆盘难题2. 移动 C 盘到柱子 3 的单圆盘难题3. 移动 A 和 B 到柱子 3 的双圆盘难题左到右 表示 盘从大到小，数字 表示 盘所在柱子号(111)(113 ) (113)(123) (111)(122) (122)(322) (322)(333) (111)(333) 梵塔问题归约图(123)(122) (322)(321) (331)(333) (321)(331) 本原问题 这种图式结构,叫做与或图它能有效地说明如何由问题归约法求得问题的解答顺序解读与或图,按问题归约顺序将其本原问题及其解 组合,即可得到原问题的解.对该梵塔问题,从与或图读得的解为如下操作顺序:梵塔问题操作顺序(111)(113 ) (113)(123) (123)(122) (322)(321) (331)(333) (321)(331) (122)(322) 2、问题归约的描述 问题归约法的基本思路是：应用一系列算符将原始问题的描述变换或分解成为子问题的描述问题的描述可以采用各种数据结构，如表、树、矢量、数组等对于梵塔问题，问题及子问题描述： (111)(333)问题归约法可以用一个三元组（S, O, P）来表示，其中： S：原始问题，即要解决的问题 P：本原问题集，其中的每一个问题是不用证明的或自然成立的，例如公理、已知事实等 O：操作算子集，用于将问题化为子问题2.2.2 与或图表示 例：有一个问题A，它可以通过三种途径来求解：1、求解问题 B 和 C2、求解问题 D 、E 和 F3、求解 H与或引入中间节点好处：任何一个节点的后继节点要么全是“与节点”，要么全是“或节点”。与或与或图的特例： 所有节点都是或节点，这时就是一般的图，即状态空间法用到的图 除了起始节点外，所有节点只有一个父节点，此时称为与或树，前面的图2.11就是与或树 问题归约法、与或图表示之间的对应关系：问题归约法原始问题本原问题操作符中间问题与或图表示起始节点终叶节点与、或关系的弧线非终叶节点在与或图中，问题有解的条件是：起始节点是可解的 一般情况下： 分解 操作符得到 与节点 变换 操作符得到 或节点在与或图中，一个可解节点的定义是（递归地）：1、终叶节点是可解的（因为它们与本原问题相关联的）。一般情况，终叶节点用 t 来表示2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点，那么，只要有一个后继节点是可解的，这一个非终叶节点就是可解的。一个节点可解可解3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点，那么，只要所有后继节点是可解的，这一个非终叶节点才是可解的。所有节点可解可解与或图中，一个不可解节点的定义（递归地）是：1、没有后裔的非终叶节点是不可解节点。2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点，那么，只要当所有的后继节点都不可解时，这一个非终叶节点才是不可解的。所有节点不可解不可解3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点，那么，只要有一个后继节点是不可解的，这一个非终叶节点就是不可解的。 有一个节点不可解不可解与或图的解图：由最少的可解节点所构成的子图，这些节点能够使问题的起始节点是可解的与或图的一些例子