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1江苏省南京市、盐城市 2016 届高三第一次模拟考试数学试题参考公式:锥体的体积公式:,其中为底面积,为高.1 3VShSh一、填空题(本大题共14 小题,每小题5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1已知集合,则= .210Ax x 1,2,5B ABI2已知复数( 是虚数单位) ,则 . 2 1izii|z 3书架上有本数学书,本物理书,从中任意取出本,则取出的两322本书都是数学书的概率为 .4运行如图所示的伪代码,其结果为 .5某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校400360学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数5520为 .6在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,若曲线xOyCx经过点,则其焦点到准线的距离为 .C(1,3)P7已知实数满足则目标函数的最小值为 ., x y50,220,0,xyxyy zxy8设一个正方体与底面边长为,侧棱长为的正四棱锥的体积相等,则该正方体2 310的棱长为 .9在中,设分别为角的对边,若,则边ABC, ,a b c, ,A B C5a 4A3cos5B = . c10设是等比数列的前项和,若,则nS nan0na 6325SS的最小值为 . 96SS11如图,在中,ABC2,3ABAC1cos3BAC2DCBDuuu ruuu r则的值为 . AD BCuuu r uuu r12过点的直线 与圆相交于两点,若点恰好是线段( 4,0)P l22:(1)5Cxy,A BA的中点,则直线 的方程为 .PBl13设是定义在上的奇函数,且,设 若( )f xR( )22x xmf x ( ),1,( )(),1,f xxg xfxx函数有且只有一个零点,则实数 的取值范围是 .( )yg xtt14设函数的图象上存在两点,使得是以为直角顶32,ln ,xxxeyaxxe,P QPOQO点的直角三角形(其中为坐标原点) ,且斜边的中点恰好在轴上,则实数的取值范Oya围是 .二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15(本小题满分 14 分)设函数的部分图象如图所示.( )sin()(0,0,)22f xAxAxR(1)求函数的解析式;( )yf x(2)当时,求的取值范围.,2 2x ( )f x16(本小题满分 14 分)如图,已知直三棱柱的侧面是正方形,点是侧面111ABCABC11ACC AO3的中心,是棱的中点.11ACC A2ACBMBC(1)求证:平面;/OM11ABB A(2)求证:平面平面.1ABC 1ABC17(本小题满分 14 分)如图所示,是两个垃圾中转站,在的正东方向千米处,的南面为居民生,A BBA16AB活区. 为了妥善处理生活垃圾,政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂ABP的选址拟满足以下两个要求(可看成三个点):垃圾发电厂到两个垃圾中转P, ,A B P站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大). 现估测得两个中转PAB,A B站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足3050上述要求?18(本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系中,设点是椭圆上一点,从原点xOy00(,)M xy2 2:14xCy向圆作两条切线分别与椭圆交于点,直线O222 00:()()MxxyyrC,P Q4的斜率分别记为.,OP OQ12,k k(1)若圆与轴相切于椭圆的右焦点,求圆的方程;MxCM(2)若.2 5 5r 求证:;121 4k k 求的最大值.OP OQ19(本小题满分 16 分)已知函数在处的切线方程为.( )xaxf xe0x yx(1)求的值;a(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围;(0,2)x21( )2f xkxxk(3)若函数的两个零点为,试判断的正负,并说明( )ln( )g xf xb12,x x12()2xxg理由.20(本小题满分 16 分)设数列共有项,记该数列前 项中的最大项为,该数列后 na(3)m m i12,ia aaLiA项中的最小项为,.mi12,iimaaaLiB(1,2,3,1)iiirAB imL(1)若数列的通项公式为,求数列的通项公式; na2nna ir(2)若数列是单调数列,且满足,求数列的通项公式; na11a 2ir na(3)试构造一个数列,满足,其中是公差不为零的等差数列, nannnabc nb5是等比数列,使得对于任意给定的正整数,数列都是单调递增的,并说明理由. ncm ir21选做题(在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内)A.(选修 41:几何证明选讲)如图,为的直径,直线与相切于点,、ABOCDODAC CDDE ABC为垂足,连接. 若,求的长.E,AD BD4AC 3DE BDB.(选修 42:矩阵与变换)设矩阵的一个特征值为,若曲线在矩阵变换下的方程为,0 2 1aM2CM221xy求曲线的方程.CC (选修 44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,已知点的极坐标为,圆的极坐标方程为A(2 2,)4E,试判断点和圆的位置关系.4cos4sinAED(选修 45:不等式选讲)已知正实数满足., , ,a b c d1abcd 6求证:.121212122 6abcd必做题(第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内)22 (本小题满分 10 分)直三棱柱中,.111ABCABCABAC2AB 4AC 12AA BDDCuuu ruuu r(1)若,求直线与平面所成角的正弦值;11DB11AC D(2)若二面角的大小为,求实数的值.111BACD6023 (本小题满分 10 分)设集合,记的含有三个元素的子集个数为,同时将每一个1,2,3,(3)MnnLMnS子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为.nT(1)求,的值;33T S44T S55T S66T S(2)猜想的表达式,并证明之.nnT S7参考答案一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 110 23 10173409 238. 9. 10. 11. 12. 27202340xy13. 14. 3 3, 2 21(0,1e二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15解:(1)由图象知, 2 分2A 又,所以,得.4 分5 4632T022T1所以,将点代入,得,( )2sin()f xx(,2)32()32kkZ即,又,所以. 6 分2()6kkZ226所以. 8 分( )2sin()6f xx(2)当时, 10 分,2 2x 2,633x 所以,即. 14 分3sin(),162x ( )3,2f x 16证明:(1)在中,因为是的中点,是的中点,1ABCO1ACMBC所以. .4 分1/OMAB又平面,平面,所以平面. .6 分OM 11ABB A1AB 11ABB A/ /OM11ABB A(2)因为是直三棱柱,所以底面,所以,111ABCABC1CC ABC1CCBC又,即,而面,且,2ACBBCAC1,CC AC 11ACC A1CCACCI所以面. .8 分BC 11ACC A而面,所以,1AC 11ACC ABC 1AC又是正方形,所以,而面,且,11ACC A11ACAC,BC1AC 1ABC1BCACCI8所以面. .12 分1AC 1ABC又面,所以面面. .14 分1AC 1ABC1ABC 1ABC17解法一:由条件,得. .2 分505 303PA PB设,则,.6 分5 ,3PAx PBx222(5 )16(3 )8cos2 16 5105xxxPABxx所以点到直线的距离PAB28sin51 ()105xhPAPABxx42117644xx, .10 分221(34)2254x所以当,即时,取得最大值 15 千米. 234x 34x h即选址应满足千米,千米. 14 分5 34PA 3 34PB 解法二:以所在直线为轴,线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系2 分ABxABy则. ( 8,0),(8,0)AB由条件,得. .4 分505 303PA PB设,则,( , )(0)P x yy 22223 (8)5 (8)xyxy化简得, .10 分222(17)15 (0)xyy即点的轨迹是以点()为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.P17,015x则当时,点到直线的距离最大,最大值为千米.17x PAB15所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. .14 分P(17,15)18解:(1)因为椭圆右焦点的坐标为,所以圆心的坐标为.2C( 3,0)M1( 3,)2分从而圆的方程为. 4 分M2211(3)()24xy9(2)因为圆与直线相切,所以,M1:OP yk x1002 1|2 5 51k xyk 即, 6 分222 0100 10(45)10450xkx y ky同理,有,222 020020(45)10450xkx y ky所以是方程的两根, 8 分12,k k222 0000(45)10450xkx y ky从而. 10 分222000 12222 0001545(1)145144 4545454xxyk kxxx 设点,联立,111222( ,),(,)P x yP xy12 214yk xxy解得, 12 分2 221 1122 1144,1414kxykk同理, 2 222 2222 2244,1414kxykk所以22 2212 2222 11224444() ()14141414kkOPOQkkkk14 分2222 1211 2222 12114(1) 4(1)441 16 14141414kkkk kkkk, 当且仅当时取等号. 所以的最大值为 162 2122 15
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