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1南通市高级中学 2014-2015 年高三数学一模试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合1 3 5 9U ,1 3 9A ,1 9B ,则()UCAB _2 若9z z(其中z表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 _ 3 已知函数( )af xx 在1x 处的导数为2,则实数a的值是 _ 4 已知函数2 nya x(*0,nanN)的图象在1x 处的切线斜率为121na(*2,nnN) ,且当1n 时,其图象经过2,8,则7a _ 5 要得到函数sin2yx的函数图象,可将函数sin 23yx 的图象向右至少平移 _ 个单位6在平面直角坐标系 xOy 中, “直线yxb,bR与曲线21xy相切”的充要条件是“ _ ”7 如图,iN表示第 i 个学生的学号,iG表示第 i 个学生的成绩,已知学号在 110 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337,则打印出的第5 组数据是 _ 8 在ABC 中,若tan:Atan:tan1:2:3BC ,则A _ 9 已知( )yf x是R上的奇函数,且0x 时,( )1f x ,则不等式2()(0)f xxf的解2集为 _ 10设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为 _ 11已知平面向量a,b,c满足1a,2b,a,b的夹角等于 3,且() ()0acbc,则c的取值范围是 _ 12在平面直角坐标系 xOy 中,过点11( 0)A x,、22( 0)A x ,分别作 x 轴的垂线与抛物线22xy分别交于点12AA、,直线12A A与 x 轴交于点33( 0)A x ,这样就称12xx、确定了3x同样,可由23xx、确定4x,若12x ,23x ,则5x _ 13定义:minx,y为实数 x,y 中较小的数已知22min 4bhaab, ,其中 a,b 均为正实数,则 h 的最大值是 _ 14在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆22 21 (1)xyaa 上,其中0 1A (,)为直角顶点若该三角形的面积的最大值为27 8,则实数a的值为 _ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (本题满分 14 分)已知函数 2( )sin2 3sin cossinsin 44f xxxxxxxR, (1)求( )f x的最小正周期和值域;(2)若0xx002x 为( )f x的一个零点,求0sin2x的值16 (本题满分 14 分)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,将正三角形 BCD 沿 BD 向上折起,折起后的点 C3记为C,且CCa (03a) (1)若3 2a ,求二面角 CBDC的大小;(2)当a变化时,线段CC上是否总存在一点E,使得 AC/平面 BED?请说明理由17 (本题满分 15 分)在平面直角坐标系xOy中,设 A、B 是双曲线2 212yx 上的两点,(1 2)M ,是线段 AB的中点,线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点(1)求直线 AB 与 CD 的方程;(2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明理由18 (本题满分 15 分)某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师,为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务,需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作,一组完成 269 捆文科卷,另一组完成 475 捆理科卷根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成,理科每捆卷需要一位阅卷老师工作 4 天完成 (假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同,每捆卷的份数也相同)(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省?4(2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成,在按(1)分配的人数阅卷 4 天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数点后第 3 位)(参考数据:8076.782119 ,956.78614,3313.34399 ,1013.53.367301 )19 (本题满分 16 分)已知函数( )f x的导函数( )fx是二次函数,且( )0fx的两根为1若( )f x的极大值与极小值之和为 0,( 2)2f (1)求函数( )f x的解析式;(2)若函数在开区间(9 9)mm, 上存在最大值与最小值,求实数m的取值范围(3)设函数( )( )f xx g x,正实数 a,b,c 满足( )( )( )0ag bbg ccg a,证明:abc20 (本题满分 16 分)设首项为 1 的正项数列 na的前 n 项和为nS,数列 2 na的前 n 项和为nT,且24() 3n nSpT ,其中p为常数. (1)求p的值;(2)求证:数列 na为等比数列;(3)证明:“数列na,12xna,22yna成等差数列,其中 x、y 均为整数”的充要条件是“1x , 且2y ”5试题(附加题)21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A (几何证明选讲)如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2,DEAB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,求 BC 的长B (矩阵与变换)已知矩阵122a 的属于特征值b的一个特征向量为1 1 ,求实数a、b的值C (极坐标与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点(1 2)A,在曲线22 2 xptypt,(t为参数,p为正常数) ,求p的值D (不等式选讲)设123a aa,均为正数,且1231aaa,求证:1231119.aaa【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22已知函数2( )2(1)ln(1)2f xxxxx,0x ,求( )f x的最大值.623 (1)已知*knN、,且kn,求证:1 1CCkk nnkn ;(2)设数列0a,1a,2a,满足01aa,112iiiaaa(i1,2,3,) 证明:对任意的正整数 n,011222 012( )C (1)C(1)C(1)Cnnnnn nnnnnp xaxaxxaxxax是关于x的一次式7参考答案1. 5; 2. 3; 3. 2; 4. 5; 5. 6; 6. 2b ; 7. 8 361,; 8. 4;9. (0 1),; 10. 4 3 27; 11. 7373 22, ; 12. 1 2; 13. 1 2; 14. 3答案解析1易得1 3 9ABA,U,则()UAB U5;2. 3zz z;3. 易得2( )afxx ,则(1)2fa ,即2a ;4. 5;5. 将sin 2sin23yxx向右至少平移 个单位得sin2yx;6. 易得12b ,且0b ,即2b ;7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是8 361,;8. 设tan Ak,则tan2Bk,tan3Ck,且0k ,利用tantantantan()1tantanABCABAB 可求得1k ,所以A;9. 易得(0)0f,20xx,故所求解集为(0 1),;10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为x,则体积22422112326xVxxx ,记22ytt,0t ,利用导数可求得当4 3t 时,max32 27y ,此时max4 3 27V ;法 2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为,则22122cossin1sinsin33V ,0,记21 01yttt ,利用导数可求得当3 3t 时,max2 3 9y ,此时8max4 3 27V ;15命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解能力(1)易得2221( )sin3sin2sincos2f xxxxx1cos213sin2cos222xxx13sin2cos22xx 12sin 262x , (5 分)所以( )f x周期,值域为3522, ;(7 分)(2)由001()2sin 2062f xx 得01sin 2064x , (9 分)又由002x得025666x-,所以020 66x-, 故015cos 264x , (11 分)此时,00sin2sin266xx00sin 2coscos 2sin6666xx31511 4242 153 8 (14 分)16命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论证能力解:(1)连结AC,交BD于点O,连结OC,菱形 ABCD 中,COBD,因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以C OBD,故C OC为二面角 CBDC的平面角, (5 分)易得3 2C OCO,而3 2CC ,所以C OC,二面角 CBDC的大小为 ;(7 分)(2)当a变化时,线段CC的中点 E 总满足 AC/平面 BED,下证之:(9 分)9因为 E,O 分别为线段CC,AC 的中点, 所以/OEAC, (11 分)又AC平面 BED,OE 平面 BED, 所以 AC/平面 BED. (14 分)17命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力解:(1)设 A11()xy,则11(24)Bxy, 代入双曲线2 212yx 得2 21 12 21 112 (4)(2)12yxyx,解得110xy=-1,或1134xy , 即AB、的坐标为1 0(,)、3 4(,),所以AB:1yx,CD:3yx ;(7 分)(2)A、B、C、D 四点共圆,下证之:(9 分)证明:由3yx 与2 212yx 联立方程组可得CD、
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