树的应用二叉树遍历的应用o 1.查找数据元素 o 2. 求二叉树的高度 o 3. 求叶子结点数设有100个学生某门课程的考试成绩的分布如下表 所示： 一、问题的提出(判断树)分数05960697079 808990100学生比例数0.050.150.400.300.10学生成绩数据分布情况表*问题：现在要编写程序依次根据每个学生的成绩 打印出该学生的成绩等级。分数05960697079 808990100学生比例数0.050.150.400.300.10学生成绩数据分布情况表方法1：a60打印 “bad“yesa70no打印 “pass“yesa80no打印 “general “yesa90no打印 “good“yes打印 “excellent “no5%的 学生15%的 学生40%的 学生30%的 学生10%的 学生共做315次比 较读取一个学生成绩a循环一百次分数05960697079 808990100学生比例数0.050.150.400.300.10学生成绩数据分布情况表方法2： a80打印 “bad“yesa90noyesnoa70 yesnoa60 yesno打印 “good“打印 “excellent “ 打印 “pass“打印 “general “5%的 学生15%的 学生40%的 学生30%的 学生10%的 学生共做220次 比较读取一个学生成绩 a循环一百次思考：如何找到一棵最优的判断树使得编写 出来的程序的运行时间是最高效的？1.哈夫曼树的有关概念 结点的路径长度：从根结点沿某条路径到某结点途中所经历的边的条数 称为该结点的路径长度。 二、哈夫曼树及其应用 树的路径长度：从根结点到每一个叶子结点的路径长度之和。 树的带权路径长度(WPL)：树中所有叶子结点的带权路径长度之和称为树的带权 路径长度。结点的带权路径长度：某结点的路径长度与该结点上的权值的乘积称为该结 点的带权路径长度。 1.哈夫曼树的有关概念 二、哈夫曼树及其应用实例：已知某二叉树的四个叶子结点 a,b,c,d 分别带权7，5，2，4，则可构造出有如下几 种不同形式的二叉树：aaa7 77b5b5c2d4c2d4 b5c2 d4树的带权路径长度为：WPL=2*7+2*5+2*2+ 2*4=36树的带权路径长度为：WPL=2*4+3*7+3*5+ 1*2=46树的带权路径长度为：WPL=1*7+2*5+3*2+ 3*4=35哈夫曼树的定义：二、哈夫曼树及其应用设有n个叶子结点的二叉树，其第i个 叶子结点的权值为wi(i=1,2,3,.n),且第i个 叶子结点的路径长度为li ,则使 WPL=wi*li最小的二叉树树称为为“最优优 二叉树树”或称为为“哈夫曼树树”。i=1n2.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用问题： 已知n个叶子的权值为w1,w2,.wn，构 造一棵最优二叉树。2.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用方法： 步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林 F=T1,T2,Tn，其中Ti是只有一个根结点且根结 点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从 F中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一 棵新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值 为其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。2.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。 a40b30c5d10e15152.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。 a40b30c5d10e15152.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。 a40b30c5d10e1515302.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。 a40b30c5d10e151530602.哈夫曼树的求解过程 二、哈夫曼树及其应用a40b30c5d10e151530601003.哈夫曼编码 二、哈夫曼树及其应用等长编码： 以英文字符编码为例，一般英文字符编码是采 用7位二进制数编码（ASCII码）。7位二进制数 可以为27个不同的英文字符编码。下面为讨论问题简单起见，假设被编码的字符 集中只有4个（即22个）不同字符，故只要两位二 进制数即可完成编码。设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下：3.哈夫曼编码 二、哈夫曼树及其应用等长编码： 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下：3.哈夫曼编码 二、哈夫曼树及其应用等长编码： 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下：A: 00 B: 01 C: 10 D: 11则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为：00010010101100 总长为14位译码时，两位一分进行译码，可唯一得到电文 ：ABACCDA 。3.哈夫曼编码 二、哈夫曼树及其应用压缩编码： 例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码：A: 0 B: 00 C: 1 D: 01问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一。则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为：000011010 总长为9位如000011010中的前4个0的译码会有如下几 种不同译码：0000AAAA；0000ABA； 0000BB思考：如何解 决这一问题？ 问题的关键在于编码 是否为无前缀编码。3.哈夫曼编码 二、哈夫曼树及其应用无前缀压缩编码（既哈夫曼编码）： *思想：利用哈夫曼树设计出来的不等长的编码方 案一定是无前缀的。 *方法：步骤1：将各字符按照其“出现频率”的统计数字安排一 个“权值”并作为“叶子”，并求出相应的哈夫曼树；步骤2：树中各结点到其左孩子的边上的权值设为0、到 其右孩子的边上的权值设为1（即所谓左0右1）；步骤3：从根开始到“叶子”所经历的边上的数值的序列 即为该“叶子”所对应的字符的编码。三、实例已知某通信用电文仅由A、B、C、D这4个字符构成，其出现的频率分别为：8、4、6、2，请给出它们的哈夫曼编码，要求写出相应的哈夫曼树。解：根据哈夫曼算法，求得哈夫曼树如下：208122664BDAC010101从根开始到叶子得各字 符的哈夫曼编码如下：A :0 B:100 C:11 D:101则对于电文“ABACCDA”的 二进制电码为：0100011111010 总长为13位四、小结:4.哈夫曼树的应用：哈夫曼编码的设计问题。2.哈夫曼树的定义：WPL=wi*li最小的二叉树树称为为“最优优二叉树树”或称 为为“哈夫曼树树”。3.哈夫曼树求解的算法思想：3个步骤。1.哈夫曼树的引入：程序优化问题。i=1nno 哈夫曼树的性质 n 哈夫曼树中没有度为1的结点 n 一棵有N个叶子的哈夫曼树中有2N-1个结点 n 给定权值的哈夫曼树不唯一 n 权值越大的节点离根节点越近作业:1.假设用于通信的电文仅由6个字母 A,B,C,D,E,F 组成,这6个字母在电文中出现的频率高低依次为： 3,4,5,8,9,4,试为这6个字母设计哈夫曼编码。2.证明:若哈夫曼树中有n个叶子结点,则该哈夫曼树 中共有2n-1个结点。（提示：哈夫曼树中无度数为 1的结点 ）线索二叉树o 当以二叉链表作为存储结构时，只能找到结 点的左，右孩子的信息，而不能直接得到结 点在任一序列中的前驱和后继信息。 o 如果增加前驱和后继指针，降低存储效率 o 因为在有n个结点的二杈链表中必定存在 n+1个空链域，故可以利用这些空链域来 存放结点的前驱和后继信息。结构o leftThread=0 时 left指向左儿子； o leftThread=1 时 left指向前驱； o rightThread=0 时 right指向左子女； o rightThread=1 时 right指向后继；leftleftThreadelementrightThreadright注意：o 一是何种“序”的线索化，是先序、中序还是 后序； o 二是要“前驱”线索化、“后继”线索化还是“ 全”线索化（前驱后继都要）； o 三是只有空指针处才能加线索。二叉搜索树 o二叉搜索树又称为二叉排序树，其定义 是一个递归过程： n 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质 定义的二叉树：o 若左子树不空，则左子树上所有结 点的值均小于根结点的值；若右子树不 空，则右子树上所有结点的值均大于或 等于根结点的值。 n 左右子树都分别是一棵二叉搜索树 。o 中序遍历二叉搜索树可以得到解决一个按关 键字有序的序列。 o 构造二叉搜索树的目的不是为了排序，而是 用来加速查找。o 二叉搜索树的建立： n 由空集为初始状态，将结点按关键字依次插入 到二叉树中去。先将第一个结点作为二叉树的 根结点，插入其它结点时，若结点的值小于根 结点的值，则插入左子树，否则插入右子树， 该过程依次进行，直到整个过程结束。 n 动态生成二叉排树时，树的形状、高度不仅依 赖于记录关键字的大小，还与记录输入的先后 顺序有关70，35，85，20，70，9070358520709020 ，35， 70 ， 70 ， 85 ，90203570708590o查找结点 n 根据前面的定义可知，二叉搜索树的查 找是一个递归的过程，具体如下：o 若二叉排序树为空，则查找失败， 输出相关信息。 o 若二叉查找树不为空，将给定值x 与查找树的根结点关键字进行比较。 o 若比较结果为相等，则查找成功， 整个查找结束。 n 否则，完成下面的判断： o (i) 若给定的值x小于根结点关键 字的值，查找将按照递归的方式在左 子树上进行。 o (ii)若给定的值x大于根结点关键 字的值，查找将按照递归的方式在右 子树上进行。 o(iii)重复以上过程，直到查找结束 （成功或者失败）。50 3080 20908540358832查找关键字505050 30 40355050 80 90= 50 , 35 , 90 , 95查找失败o 算法分析： n 对于深度为d的二叉搜索树，若设第i层有ni个结点 ，则在等查找概率情况下，其平均查找长度为：ASL=最好情况下，O（log2n）最坏情况下，O（n）ASL