定积分的概念abxyo原型 （求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型面积怎么求？面积怎么求？元素法元素法利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限” 的步骤.将曲边梯形的底，即a ,b进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步 分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步 取近似；abxyo用矩形面积近似用矩形面积近似 小曲边梯形面积小曲边梯形面积底典型小区域面积 abxyo第三步 求和；矩形面积和与曲边梯 形面积不相等有误差有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第四步 取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo二、 定积分的定义定义以直代曲 求和被积函数被积表达式积分上限积分下限积分变量积分和取极限注意：曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义几何意义例1解定理三、定积分的性质定理补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.定理 （积分区间的可加性）abcSacScbS定理 对定积分的补充规定:定理（保序性）推论（保号性）定理 （有界性）例2解.定理（绝对值不等式）用保序性证得定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释定积分的计算定积分计算如何计算定积分？如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.根据几何意义，图不好画定理牛顿-莱布尼茨公式微积分基本定理微积分基本公式表明：求定积分问题转化为求原函数的问题例1 求 解提示与分析：先看成不定积分问题 ，求出原函数.例2例如问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令第一换元法考虑到底该令哪个式子为u一定要换积分上、下限第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式: 解例4 计算说明:使用第一换元法的关键在于将化为观察重点不同，所得结论形式不同.例5 计算解一提示与分析： 用凑微分法求解.解二解三第一类换元法难 求易 求第二换元积分法第二类换元法难 求易 求定积分的第二换元积分法应用换元公式时要注意:第二换元法例7计算解 令如何去掉根式？ 三角代换=0解例8 计算解例9 计算1 求2 求练习 1 求2 求提示与分析：含有根式,可采用换元定积分,去掉根号.