E-mail: xuxinahu.edu.cn2.交错级数的收敛判别法3.绝对收敛与条件收敛4.任意项级数的收敛判别法1.正项级数的收敛判别法2 2 数项级数的收敛判别法数项级数的收敛判别法E-mail: xuxinahu.edu.cn前面所讲的常数项级数中，各项均可是 正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊 情况。如果级数中各项是由正数或零组成， 这就称该级数为正项级数。同理也有负项级 数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项 级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数 在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛 散性讨论都会转为正项级数的敛散性.E-mail: xuxinahu.edu.cn定义 设级数为正项级数.显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的， 即一、正项级数的收敛判别法E-mail: xuxinahu.edu.cn定理 正项级数收敛有界.证: “” 收敛收敛有界.有界,又是一个单调上升数列存在收敛.“” E-mail: xuxinahu.edu.cn证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn定理1(比较判别法) 设设与是两个正项级项级 数， 且 那么 （1）如果 收敛，则收敛。（2）如果 发散，则发散。证: 设和分别表示和的部分和， 显然由(1) 收敛有界有界也收敛.(2) 发散无界无界也发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn例2 判定p-级数的敛散性.(常数 p0)E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn证明E-mail: xuxinahu.edu.cn思考题：若正项级数则下列级数的敛散性(2)(3)收敛，(1)E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn例4 判断下列级数的敛散性E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn定理2（比较审敛法的极限形式）设=1nnu与=1nnv都是正项级数, 如果则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性;(2) 当时，若收敛, 则收敛;(3) 当时, 若=1nnv发散, 则=1nnu发散;E-mail: xuxinahu.edu.cn证明由比较审敛法的推论, 得证.E-mail: xuxinahu.edu.cn(2) 由于(=0)取=1时，N 0, 当n N时，故由比较判别法，当=0时，E-mail: xuxinahu.edu.cn(3) 由于(= )，故M 0 (不妨取M 1) , N 0, 当n N 时，即 0 vn 0为常数)解：因为(即=1为常数)又是调和级数，它是发散的发散.故原级数E-mail: xuxinahu.edu.cn练习2 判别级数的敛散性，其中, x0为常数.解：由于而是n=2的P一级数，收敛的故原级数E-mail: xuxinahu.edu.cn比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意:E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn例7 判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn由比值判别法可知所给级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn例9 判别级数的敛散性,其中x0为常数解：记即 =0 1 时，原级数发散.当01时，0, a0为常数解：记即当xa时，当0xa时，E-mail: xuxinahu.edu.cn当 x = a 时，=1, 但故原级数发散.综上所述，当 0xa 时，原级数收敛. 当 x a时，原级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn二、交错级数及其审敛法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.E-mail: xuxinahu.edu.cn证明E-mail: xuxinahu.edu.cn满足收敛的两个条件,定理证毕.E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn解原级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn练习 判别级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又令x2, +)，则x2, +)故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立由莱布尼兹判别法，该级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn三、绝对收敛与条件收敛定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明E-mail: xuxinahu.edu.cn上定理的作用：任意项级数正项级数E-mail: xuxinahu.edu.cn例如E-mail: xuxinahu.edu.cn解故由定理知原级数绝对收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn解故由定理知原级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn练习2 级数是否绝对收敛?解：由调和级数的发散性可知故发散.但原级数是一个收敛的交错级数故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.E-mail: xuxinahu.edu.cn绝对收敛的级数几个注释：1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不 成立. 2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法： E-mail: xuxinahu.edu.cn如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛；且当 若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。E-mail: xuxinahu.edu.cn四、任意项级数的收敛判别法绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛性，而不能判别级数的条件收敛性。为了讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常用的一般级数判别发，先看一个引理。E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn